Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, теория чисел. делимость, Делимость нацело и ее свойства,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Трёхзначное число \(\overline{abс}\) кратно числу 37. Докажите, что сумма чисел \(\overline{bса}\) и \(\overline{саb}\) также кратна числу 87.

Ответ

NaN

Решение № 49460:

Для решения задачи докажем, что сумма чисел \(\overline{bca}\) и \(\overline{cab}\) также кратна числу 87, если трёхзначное число \(\overline{abc}\) кратно числу 37.

1. Пусть трёхзначное число \(\overline{abc}\) кратно 37. Это означает, что существует такое целое число \(k\), что: \[ \overline{abc} = 100a + 10b + c = 37k \]
2. Запишем число \(\overline{bca}\): \[ \overline{bca} = 100b + 10c + a \]
3. Запишем число \(\overline{cab}\): \[ \overline{cab} = 100c + 10a + b \]
4. Найдём сумму чисел \(\overline{bca}\) и \(\overline{cab}\): \[ \overline{bca} + \overline{cab} = (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b) \]
5. Сложим выражения: \[ \overline{bca} + \overline{cab} = 100b + 10c + a + 100c + 10a + b = 101b + 110c + 11a \]
6. Перепишем сумму в виде: \[ \overline{bca} + \overline{cab} = 11(10a + b + c) + 87c \]
7. Подставим \(10a + b + c\) из уравнения \(\overline{abc} = 37k\): \[ \overline{bca} + \overline{cab} = 11(37k) + 87c \]
8. Раскроем скобки: \[ \overline{bca} + \overline{cab} = 407k + 87c \]
9. Заметим, что \(407k + 87c\) можно представить как: \[ 407k + 87c = 87(4.68k + c) \]
10. Следовательно, сумма \(\overline{bca} + \overline{cab}\) кратна 87: \[ \overline{bca} + \overline{cab} = 87(4.68k + c) \]

Таким образом, мы доказали, что сумма чисел \(\overline{bca}\) и \(\overline{cab}\) кратна 87, если трёхзначное число \(\overline{abc}\) кратно 37. Ответ: 87