Решение №42572: Для решения задачи о нахождении пределов функций, графики которых изображены на рисунках 68-71, при \(x \rightarrow +\infty\), \(x \rightarrow -\infty\) и \(x \rightarrow \infty\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассмотреть графики функций и определить их поведение при \(x \rightarrow +\infty\) и \(x \rightarrow -\infty\).
2. Для каждой функции определить, существует ли предел при \(x \rightarrow +\infty\) и \(x \rightarrow -\infty\).
3. Определить, существует ли предел при \(x \rightarrow \infty\).

Анализ графиков:

1. График 68:

   • При \(x \rightarrow +\infty\): Определить, существует ли предел и какое его значение.
   • При \(x \rightarrow -\infty\): Определить, существует ли предел и какое его значение.

2. График 69:

   • При \(x \rightarrow +\infty\): Определить, существует ли предел и какое его значение.
   • При \(x \rightarrow -\infty\): Определить, существует ли предел и какое его значение.

3. График 70:

   • При \(x \rightarrow +\infty\): Определить, существует ли предел и какое его значение.
   • При \(x \rightarrow -\infty\): Определить, существует ли предел и какое его значение.

4. График 71:

   • При \(x \rightarrow +\infty\): Определить, существует ли предел и какое его значение.
   • При \(x \rightarrow -\infty\): Определить, существует ли предел и какое его значение.

Определение пределов:

1. График 68:

   • При \(x \rightarrow +\infty\): Предел существует, если график функции стремится к определённому значению. Например, \( \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = L \).
   • При \(x \rightarrow -\infty\): Предел существует, если график функции стремится к определённому значению. Например, \( \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = M \).

2. График 69:

   • При \(x \rightarrow +\infty\): Предел существует, если график функции стремится к определённому значению. Например, \( \lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = N \).
   • При \(x \rightarrow -\infty\): Предел существует, если график функции стремится к определённому значению. Например, \( \lim_{x \rightarrow -\infty} g(x) = P \).

3. График 70:

   • При \(x \rightarrow +\infty\): Предел существует, если график функции стремится к определённому значению. Например, \( \lim_{x \rightarrow +\infty} h(x) = Q \).
   • При \(x \rightarrow -\infty\): Предел существует, если график функции стремится к определённому значению. Например, \( \lim_{x \rightarrow -\infty} h(x) = R \).

4. График 71:

   • При \(x \rightarrow +\infty\): Предел существует, если график функции стремится к определённому значению. Например, \( \lim_{x \rightarrow +\infty} k(x) = S \).
   • При \(x \rightarrow -\infty\): Предел существует, если график функции стремится к определённому значению. Например, \( \lim_{x \rightarrow -\infty} k(x) = T \).

Определение предела при \(x \rightarrow \infty\):

1. График 68:

   • При \(x \rightarrow \infty\): Предел существует, если значения при \(x \rightarrow +\infty\) и \(x \rightarrow -\infty\) совпадают. Например, \( \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = L \), если \( \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) \).

2. График 69:

   • При \(x \rightarrow \infty\): Предел существует, если значения при \(x \rightarrow +\infty\) и \(x \rightarrow -\infty\) совпадают. Например, \( \lim_{x \rightarrow \infty} g(x) = N \), если \( \lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} g(x) \).

3. График 70:

   • При \(x \rightarrow \infty\): Предел существует, если значения при \(x \rightarrow +\infty\) и \(x \rightarrow -\infty\) совпадают. Например, \( \lim_{x \rightarrow \infty} h(x) = Q \), если \( \lim_{x \rightarrow +\infty} h(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} h(x) \).

4. График 71:

   • При \(x \rightarrow \infty\): Предел существует, если значения при \(x \rightarrow +\infty\) и \(x \rightarrow -\infty\) совпадают. Например, \( \lim_{x \rightarrow \infty} k(x) = S \), если \( \lim_{x \rightarrow +\infty} k(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} k(x) \).

Вывод:

На основе анализа графиков и определения пределов можно сделать вывод, какая из функций имеет предел при \(x \rightarrow +\infty\), \(x \rightarrow -\infty\) и \(x \rightarrow \infty\).

Ответ:

Функция, имеющая предел при \(x \rightarrow +\infty\): [указать номер графика]

Функция, имеющая предел при \(x \rightarrow -\infty\): [указать номер графика]

Функция, имеющая предел при \(x \rightarrow \infty\): [указать номер графика]

Ответ: NaN

Решение №42573: Для выяснения, имеет ли функция \( y = f(x) \) предел при \( x \rightarrow +\infty \), \( x \rightarrow -\infty \) или \( x \rightarrow \infty \) и чему он равен, если прямая \( y = 3 \) является горизонтальной асимптотой графика функции на луче \( (\infty; 4] \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить, что такое горизонтальная асимптота:
Горизонтальная асимптота функции \( f(x) \) — это горизонтальная прямая \( y = a \), к которой график функции стремится при \( x \rightarrow +\infty \) или \( x \rightarrow -\infty \).
2. Использовать информацию о горизонтальной асимптоте:
По условию задачи, прямая \( y = 3 \) является горизонтальной асимптотой графика функции на луче \( (\infty; 4] \). Это означает, что при \( x \rightarrow +\infty \) значения функции \( f(x) \) стремятся к 3.
3. Записать предел функции при \( x \rightarrow +\infty \):
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 3 \]
4. Проверить предел функции при \( x \rightarrow -\infty \) и \( x \rightarrow \infty \):
Поскольку информация о поведении функции при \( x \rightarrow -\infty \) или \( x \rightarrow \infty \) не дана, мы не можем сделать выводы о пределах функции в этих случаях. Однако, если функция имеет горизонтальную асимптоту \( y = 3 \) при \( x \rightarrow +\infty \), то при \( x \rightarrow \infty \) (без указания знака) функция также будет стремиться к 3.
5. Записать предел функции при \( x \rightarrow \infty \):
\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = 3 \]

Ответ: NaN

Решение №42574: Для выяснения, имеет ли функция \( y = f(x) \) предел при \( x \rightarrow +\infty \), \( x \rightarrow -\infty \) или \( x \rightarrow \infty \) и чему он равен, если прямая \( y = -2 \) является горизонтальной асимптотой графика функции на луче \([-6; +\infty)\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Понимание горизонтальной асимптоты:
Если прямая \( y = -2 \) является горизонтальной асимптотой графика функции \( y = f(x) \) на луче \([-6; +\infty)\), это означает, что при \( x \rightarrow +\infty \) значение функции \( f(x) \) стремится к \(-2\).
2. Анализ предела при \( x \rightarrow +\infty \):
По определению горизонтальной асимптоты: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -2 \]
3. Анализ предела при \( x \rightarrow -\infty \):
Горизонтальная асимптота на луче \([-6; +\infty)\) не дает информации о поведении функции при \( x \rightarrow -\infty \). Чтобы определить поведение функции при \( x \rightarrow -\infty \), необходимо дополнительное исследование функции \( f(x) \).
4. Анализ предела при \( x \rightarrow \infty \):
Поскольку \( y = -2 \) является горизонтальной асимптотой на луче \([-6; +\infty)\), можно предположить, что при \( x \rightarrow \infty \) (включая как \( +\infty \), так и \( -\infty \)) функция также стремится к \(-2\). Однако для точного утверждения необходимо дополнительное исследование функции \( f(x) \).
5. Заключение:
На основе информации о горизонтальной асимптоте на луче \([-6; +\infty)\), можно утверждать, что: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -2 \] Для утверждения о пределе при \( x \rightarrow -\infty \) или \( x \rightarrow \infty \) необходимо дополнительное исследование функции \( f(x) \).

Ответ: NaN

Решение №42575: Для выяснения, имеет ли функция \( y = f(x) \) предел при \( x \rightarrow +\infty \), \( x \rightarrow -\infty \) или \( x \rightarrow \infty \) и чему он равен, если прямая \( y = -5 \) является горизонтальной асимптотой графика функции на луче \((-\infty; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Исследовать поведение функции на луче \((-\infty; 3]\):

Поскольку прямая \( y = -5 \) является горизонтальной асимптотой графика функции на луче \((-\infty; 3]\), это означает, что при \( x \rightarrow -\infty \) значение функции \( f(x) \) стремится к \(-5\).

2. Записать предел при \( x \rightarrow -\infty \):
\[ \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -5 \]
3. Исследовать поведение функции на луче \((3; +\infty)\):

Для полного анализа необходимо выяснить, существует ли предел функции при \( x \rightarrow +\infty \) и чему он равен.

4. Записать предел при \( x \rightarrow +\infty \):

Если прямая \( y = -5 \) является горизонтальной асимптотой и на луче \((3; +\infty)\), то:

\[ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -5 \]
5. Сделать вывод о существовании предела при \( x \rightarrow \infty \):

Поскольку пределы при \( x \rightarrow -\infty \) и \( x \rightarrow +\infty \) одинаковы, можно сделать вывод, что предел при \( x \rightarrow \infty \) также существует и равен \(-5\).

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = -5 \]

Ответ:

Функция \( y = f(x) \) имеет предел при \( x \rightarrow \infty \), и он равен \(-5\).

Ответ: NaN

Решение №42576: Для выяснения, имеет ли функция \( y = f(x) \) предел при \( x \rightarrow +\infty \), \( x \rightarrow -\infty \) или \( x \rightarrow \infty \) и чему он равен, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассмотрим условие задачи: прямая \( y = 5 \) является горизонтальной асимптотой графика функции на луче \([4; +\infty)\). Это означает, что при \( x \rightarrow +\infty \) функция \( f(x) \) стремится к значению 5.
2. Для проверки существования предела при \( x \rightarrow +\infty \), вычислим:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 5 \] Это следует из условия, что \( y = 5 \) является горизонтальной асимптотой на луче \([4; +\infty)\).
3. Теперь проверим существование предела при \( x \rightarrow -\infty \). Для этого рассмотрим поведение функции на луче \((-\infty; 4)\).
4. Если функция \( f(x) \) имеет предел при \( x \rightarrow -\infty \), то этот предел должен совпадать с горизонтальной асимптотой на луче \([4; +\infty)\), так как горизонтальная асимптота определяет поведение функции на бесконечности.
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 5 \]
5. Теперь проверим существование предела при \( x \rightarrow \infty \). Это означает, что мы рассматриваем поведение функции при стремлении \( x \) к бесконечности в обоих направлениях (как \( x \rightarrow +\infty \), так и \( x \rightarrow -\infty \)).
\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = 5 \]
6. Таким образом, функция \( f(x) \) имеет предел при \( x \rightarrow \infty \), и этот предел равен 5.

Ответ: NaN

Решение №42577: Для вычисления предела \(\lim \limits_{x\to\infty} (f(x) + g(x) - h(x))\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать свойства пределов суммы и разности функций.
2. Применить свойство предела суммы: \[ \lim \limits_{x\to\infty} (f(x) + g(x)) = \lim \limits_{x\to\infty} f(x) + \lim \limits_{x\to\infty} g(x) \]
3. Применить свойство предела разности: \[ \lim \limits_{x\to\infty} (f(x) + g(x) - h(x)) = \lim \limits_{x\to\infty} (f(x) + g(x)) - \lim \limits_{x\to\infty} h(x) \]
4. Подставить известные значения пределов: \[ \lim \limits_{x\to\infty} f(x) = 2, \quad \lim \limits_{x\to\infty} g(x) = -3, \quad \lim \limits_{x\to\infty} h(x) = 9 \]
5. Вычислить сумму пределов функций \( f(x) \) и \( g(x) \): \[ \lim \limits_{x\to\infty} (f(x) + g(x)) = 2 + (-3) = -1 \]
6. Вычислить разность полученной суммы и предела функции \( h(x) \): \[ \lim \limits_{x\to\infty} (f(x) + g(x) - h(x)) = -1 - 9 = -10 \]

Ответ: -10

Решение №42578: Для нахождения предела \(\lim \limits_{x\to\infty} (g(x) \cdot (f(x))^2)\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вспомним известные пределы:
\[ \lim \limits_{x\to\infty} f(x) = 2 \] \[ \lim \limits_{x\to\infty} g(x) = -3 \] \[ \lim \limits_{x\to\infty} h(x) = 9 \]
2. Вычислим предел \((f(x))^2\):
\[ \lim \limits_{x\to\infty} (f(x))^2 = \left(\lim \limits_{x\to\infty} f(x)\right)^2 = 2^2 = 4 \]
3. Вычислим предел \(g(x) \cdot (f(x))^2\):
\[ \lim \limits_{x\to\infty} (g(x) \cdot (f(x))^2) = \left(\lim \limits_{x\to\infty} g(x)\right) \cdot \left(\lim \limits_{x\to\infty} (f(x))^2\right) \] \[ = (-3) \cdot 4 = -12 \]

Ответ: -12

Решение №42579: Для вычисления \(\lim \limits_{x\to\infty} (g(x) - f(x) + h(x))\) при заданных пределах \(\lim \limits_{x\to\infty} f(x) = 2\), \(\lim \limits_{x\to\infty} g(x) = -3\), \(\lim \limits_{x\to\infty} h(x) = 9\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать заданные пределы:
\[ \lim \limits_{x\to\infty} f(x) = 2 \] \[ \lim \limits_{x\to\infty} g(x) = -3 \] \[ \lim \limits_{x\to\infty} h(x) = 9 \]
2. Использовать свойства пределов для суммы и разности функций:
\[ \lim \limits_{x\to\infty} (g(x) - f(x) + h(x)) = \lim \limits_{x\to\infty} g(x) - \lim \limits_{x\to\infty} f(x) + \lim \limits_{x\to\infty} h(x) \]
3. Подставить известные пределы:
\[ \lim \limits_{x\to\infty} (g(x) - f(x) + h(x)) = (-3) - 2 + 9 \]
4. Выполнить арифметические операции:
\[ (-3) - 2 + 9 = -5 + 9 = 4 \]

Ответ: 4

Решение №42580: Для нахождения \(\lim \limits_{x\to\infty} (f(x) * g(x) * h(x))\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать свойство произведения пределов: если \(\lim \limits_{x\to\infty} f(x) = L\), \(\lim \limits_{x\to\infty} g(x) = M\), и \(\lim \limits_{x\to\infty} h(x) = N\), то \(\lim \limits_{x\to\infty} (f(x) * g(x) * h(x)) = L * M * N\).
2. Известны пределы: \[ \lim \limits_{x\to\infty} f(x) = 2 \] \[ \lim \limits_{x\to\infty} g(x) = -3 \] \[ \lim \limits_{x\to\infty} h(x) = 9 \]
3. Вычислить произведение пределов: \[ \lim \limits_{x\to\infty} (f(x) * g(x) * h(x)) = 2 * (-3) * 9 \]
4. Выполнить умножение: \[ 2 * (-3) = -6 \] \[ -6 * 9 = -54 \]
5. Таким образом, получаем: \[ \lim \limits_{x\to\infty} (f(x) * g(x) * h(x)) = -54 \]

Ответ: -54

Решение №42581: Для нахождения предела \(\lim \limits_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)}\), зная, что \(\lim \limits_{x\to\infty} f(x)= -2\) и \(\lim \limits_{x\to\infty} g(x) = -10\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать свойство пределов отношения двух функций: \[ \lim \limits_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim \limits_{x\to\infty} f(x)}{\lim \limits_{x\to\infty} g(x)} \]
2. Подставить известные значения пределов: \[ \lim \limits_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{-2}{-10} \]
3. Упростить выражение: \[ \frac{-2}{-10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]

Ответ: 0.2

Решение №42582: Для нахождения предела \(\lim \limits_{x\to\infty} \frac{3f(x)+ h(x)}{2g(x)+15}\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Используем известные пределы: \[ \lim \limits_{x\to\infty} f(x) = -2 \] \[ \lim \limits_{x\to\infty} g(x) = -10 \] \[ \lim \limits_{x\to\infty} h(x) = 6 \]
2. Подставим эти значения в выражение: \[ \lim \limits_{x\to\infty} \frac{3f(x) + h(x)}{2g(x) + 15} \]
3. Вычислим числитель и знаменатель отдельно: \[ \lim \limits_{x\to\infty} (3f(x) + h(x)) = 3 \lim \limits_{x\to\infty} f(x) + \lim \limits_{x\to\infty} h(x) = 3(-2) + 6 = -6 + 6 = 0 \] \[ \lim \limits_{x\to\infty} (2g(x) + 15) = 2 \lim \limits_{x\to\infty} g(x) + 15 = 2(-10) + 15 = -20 + 15 = -5 \]
4. Теперь подставим эти значения обратно в дробь: \[ \lim \limits_{x\to\infty} \frac{3f(x) + h(x)}{2g(x) + 15} = \frac{\lim \limits_{x\to\infty} (3f(x) + h(x))}{\lim \limits_{x\to\infty} (2g(x) + 15)} = \frac{0}{-5} = 0 \]

Ответ: 0

Решение №42583: Для нахождения предела \(\lim \limits_{x\to\infty} \frac{f(x)h(x)}{g(x)}\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать свойства пределов для функций \(f(x)\), \(g(x)\) и \(h(x)\):
\[ \lim \limits_{x\to\infty} f(x) = -2, \quad \lim \limits_{x\to\infty} g(x) = -10, \quad \lim \limits_{x\to\infty} h(x) = 6 \]
2. Применить свойство предела произведения функций:
\[ \lim \limits_{x\to\infty} (f(x)h(x)) = \left( \lim \limits_{x\to\infty} f(x) \right) \left( \lim \limits_{x\to\infty} h(x) \right) = (-2)(6) = -12 \]
3. Применить свойство предела частного функций:
\[ \lim \limits_{x\to\infty} \frac{f(x)h(x)}{g(x)} = \frac{\lim \limits_{x\to\infty} (f(x)h(x))}{\lim \limits_{x\to\infty} g(x)} = \frac{-12}{-10} = \frac{6}{5} \]

Ответ: 1.2

Решение №42584: Для нахождения предела \(\lim \limits_{x\to\infty} \frac{3g(x)}{5h(x)}\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать известные пределы:
\[ \lim \limits_{x\to\infty} f(x) = -2 \] \[ \lim \limits_{x\to\infty} g(x) = -10 \] \[ \lim \limits_{x\to\infty} h(x) = 6 \]
2. Выразить предел \(\lim \limits_{x\to\infty} \frac{3g(x)}{5h(x)}\) через известные пределы:
\[ \lim \limits_{x\to\infty} \frac{3g(x)}{5h(x)} = \frac{\lim \limits_{x\to\infty} 3g(x)}{\lim \limits_{x\to\infty} 5h(x)} \]
3. Подставить значения известных пределов:
\[ \lim \limits_{x\to\infty} 3g(x) = 3 \cdot \lim \limits_{x\to\infty} g(x) = 3 \cdot (-10) = -30 \] \[ \lim \limits_{x\to\infty} 5h(x) = 5 \cdot \lim \limits_{x\to\infty} h(x) = 5 \cdot 6 = 30 \]
4. Подставить полученные значения в выражение для предела:
\[ \lim \limits_{x\to\infty} \frac{3g(x)}{5h(x)} = \frac{-30}{30} = -1 \]

Ответ: -1

Решение №42585: Для построения графика функции \( y = f(x) \), обладающей свойством \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 3 \), можно рассмотреть функцию, которая стремится к 3 при \( x \to \infty \). Одним из таких примеров является функция: \[ f(x) = 3 - \frac{1}{x} \] Построим график этой функции пошагово:

1. Определим функцию:
\[ f(x) = 3 - \frac{1}{x} \]
2. Найдем предел функции при \( x \to \infty \):
\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \left( 3 - \frac{1}{x} \right) = 3 - \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 3 - 0 = 3 \]
3. Построим график функции \( f(x) = 3 - \frac{1}{x} \):
• Для \( x > 0 \), функция \( f(x) \) будет приближаться к 3 снизу.
• Для \( x < 0 \), функция \( f(x) \) будет приближаться к 3 сверху.
4. Построим таблицу значений функции для различных значений \( x \):

x	f(x)
-10	3.1
-5	3.2
-2	3.5
-1	4
1	2
2	2.5
5	2.8
10	2.9

5. Построим график на координатной плоскости:

Ответ: NaN

Решение №42586: Для построения графика функции \( y = f(x) \), обладающей свойством \( \lim \limits_{x \to \infty} f(x) = -2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбрать функцию, которая удовлетворяет указанному свойству. Одной из таких функций может быть \( f(x) = -2 + \frac{1}{x} \).
2. Рассмотрим функцию \( f(x) = -2 + \frac{1}{x} \).
3. Проверим, что функция удовлетворяет условию \( \lim \limits_{x \to \infty} f(x) = -2 \):
\[ \lim \limits_{x \to \infty} \left( -2 + \frac{1}{x} \right) = -2 + \lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = -2 + 0 = -2 \]
4. Теперь построим график функции \( f(x) = -2 + \frac{1}{x} \).
5. Найдем значения функции в нескольких точках, чтобы построить график:
\[ f(1) = -2 + \frac{1}{1} = -1 \] \[ f(2) = -2 + \frac{1}{2} = -1.5 \] \[ f(0.5) = -2 + \frac{1}{0.5} = 0 \] \[ f(-1) = -2 + \frac{1}{-1} = -3 \] \[ f(-2) = -2 + \frac{1}{-2} = -2.5 \]
6. Построим график функции \( f(x) = -2 + \frac{1}{x} \).

Ответ: NaN

Решение №42587: Для построения графика функции \( y = f(x) \), обладающей свойством \( \lim \limits_{x \to \infty} f(x) = -5 \), выполним следующие шаги:

1. Выберем функцию, которая удовлетворяет указанному свойству. Одной из таких функций может быть \( f(x) = -5 + \frac{1}{x} \).
2. Проверим, что эта функция удовлетворяет условию: \[ \lim \limits_{x \to \infty} \left( -5 + \frac{1}{x} \right) = -5 + \lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = -5 + 0 = -5 \]
3. Построим график функции \( f(x) = -5 + \frac{1}{x} \).
4. Для построения графика функции \( f(x) = -5 + \frac{1}{x} \) можно использовать следующие шаги:
5. Определим поведение функции в ключевых точках:
   • При \( x \to 0 \), \( f(x) \to \infty \) (если \( x > 0 \)) и \( f(x) \to -\infty \) (если \( x < 0 \)).
   • При \( x \to \infty \), \( f(x) \to -5 \).
   • При \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -5 \).
6. Построим таблицу значений для графика:

   x	f(x)
   -10	\(-5 + \frac{1}{-10} = -5 - 0.1 = -5.1\)
   -1	\(-5 + \frac{1}{-1} = -5 - 1 = -6\)
   -0.1	\(-5 + \frac{1}{-0.1} = -5 - 10 = -15\)
   0.1	\(-5 + \frac{1}{0.1} = -5 + 10 = 5\)
   1	\(-5 + \frac{1}{1} = -5 + 1 = -4\)
   10	\(-5 + \frac{1}{10} = -5 + 0.1 = -4.9\)

7. Построим график на основе таблицы значений.

График функции \( f(x) = -5 + \frac{1}{x} \) будет выглядеть следующим образом:

На графике видно, что при \( x \to \infty \) функция стремится к -5, что соответствует условию задачи.

Ответ: NaN

Решение №42588: Для построения графика функции \( y = f(x) \), обладающей свойством \( \lim \limits_{x\to\infty} f(x) = 0 \), рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{1}{x} \). Эта функция удовлетворяет указанному свойству, так как при \( x \to \infty \), \( \frac{1}{x} \to 0 \). ### Пошаговое решение:

1. Выберем функцию \( f(x) = \frac{1}{x} \), которая удовлетворяет условию \( \lim \limits_{x\to\infty} f(x) = 0 \).
2. Исследуем поведение функции \( f(x) \) при \( x \to \infty \):
\[ \lim \limits_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 0 \]
3. Построим график функции \( f(x) = \frac{1}{x} \):
• Функция \( f(x) = \frac{1}{x} \) является гиперболой, которая асимптотически приближается к оси \( x \) по мере увеличения \( x \).
• При \( x > 0 \), функция положительна и убывает, приближаясь к нулю.
• При \( x < 0 \), функция отрицательна и возрастает, приближаясь к нулю.
4. Отметим важные точки и поведение функции:
• При \( x = 1 \), \( f(1) = 1 \).
• При \( x = -1 \), \( f(-1) = -1 \).
• При \( x = 0 \), функция не определена (вертикальная асимптота).
5. Построим график функции \( f(x) = \frac{1}{x} \):
   
   (Примечание: Вставьте реальное изображение графика, если это возможно.)

Ответ: NaN

Решение №42589: Для построения графика функции \( y = f(x) \), обладающей свойствами \(\lim \limits_{x\to\infty} f(x) = 4\) и \(\lim \limits_{x\to -\infty} f(x) = 0\), можно рассмотреть функцию, которая удовлетворяет этим условиям. Одним из примеров такой функции является: \[ f(x) = 4 - 4e^{-x} \] Пошагово выполним следующие шаги:

1. Выберем функцию \( f(x) = 4 - 4e^{-x} \).
2. Проверим, что эта функция удовлетворяет указанным свойствам:
• \(\lim \limits_{x\to\infty} f(x) = \lim \limits_{x\to\infty} (4 - 4e^{-x}) = 4 - 4 \cdot 0 = 4\)
• \(\lim \limits_{x\to -\infty} f(x) = \lim \limits_{x\to -\infty} (4 - 4e^{-x}) = 4 - 4 \cdot \infty = 0\)
3. Построим график функции \( f(x) = 4 - 4e^{-x} \):
• Найдем значения функции в нескольких точках для построения графика:
• \( f(0) = 4 - 4e^{-0} = 4 - 4 \cdot 1 = 0 \)
• \( f(1) = 4 - 4e^{-1} = 4 - 4 \cdot \frac{1}{e} \approx 4 - 1.47 = 2.53 \)
• \( f(-1) = 4 - 4e^{1} = 4 - 4 \cdot e \approx 4 - 10.87 = -6.87 \)
4. Обозначим основные характеристики графика:
• При \( x \to \infty \), \( f(x) \to 4 \)
• При \( x \to -\infty \), \( f(x) \to 0 \)
• График функции будет иметь горизонтальную асимптоту \( y = 4 \) при \( x \to \infty \) и горизонтальную асимптоту \( y = 0 \) при \( x \to -\infty \).

Ответ: NaN

Решение №42590: Для построения графика функции \( y = f(x) \), обладающей свойствами \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 10 \) и \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -2 \), можно выбрать простую функцию, которая удовлетворяет этим условиям. Одной из таких функций может быть гипербола, описываемая уравнением вида: \[ f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \] где \( a, b, c, d \) — константы, которые можно подобрать для удовлетворения заданных пределов. Пошаговое решение:

1. Определим пределы функции:
\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{a}{c} = 10 \] \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{a}{c} = -2 \]
2. Для удовлетворения этих условий, выберем \( a = 12 \) и \( c = 1 \). Тогда:
\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{12}{1} = 12 \] \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{12}{1} = 12 \]
3. Теперь подберем \( b \) и \( d \) так, чтобы функция удовлетворяла заданным пределам. Пусть \( b = -2 \) и \( d = 1 \). Тогда функция примет вид:
\[ f(x) = \frac{12x - 2}{x + 1} \]
4. Проверим пределы функции:
\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{12x - 2}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{12 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{12}{1} = 12 \] \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{12x - 2}{x + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{12 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{12}{1} = 12 \]
5. Построим график функции \( f(x) = \frac{12x - 2}{x + 1} \).

Ответ: NaN

Решение №42591: Для построения графика функции \( y = f(x) \), обладающей свойствами: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = -2 \] \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 1 \] необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбрать функцию, которая удовлетворяет указанным свойствам. Одной из таких функций может быть: \[ f(x) = 1 - 3 \left( \frac{2}{\pi} \arctan(x) + 1 \right) \]
2. Проверить пределы функции \( f(x) \) при \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \):
3. \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = 1 - 3 \left( \frac{2}{\pi} \arctan(\infty) + 1 \right) \] \[ \arctan(\infty) = \frac{\pi}{2} \] \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = 1 - 3 \left( \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} + 1 \right) = 1 - 3 \left( 1 + 1 \right) = 1 - 3 \cdot 2 = 1 - 6 = -5 \]
4. \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 1 - 3 \left( \frac{2}{\pi} \arctan(-\infty) + 1 \right) \] \[ \arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2} \] \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 1 - 3 \left( \frac{2}{\pi} \cdot -\frac{\pi}{2} + 1 \right) = 1 - 3 \left( -1 + 1 \right) = 1 - 3 \cdot 0 = 1 \]
5. Построить график функции \( f(x) \):
• Для этого можно использовать график функции \( y = \arctan(x) \), который является S-образной кривой, и затем преобразовать его согласно выбранной функции.
• График функции \( y = \arctan(x) \) имеет горизонтальные асимптоты \( y = -\frac{\pi}{2} \) и \( y = \frac{\pi}{2} \).
• Для функции \( f(x) = 1 - 3 \left( \frac{2}{\pi} \arctan(x) + 1 \right) \) горизонтальные асимптоты будут \( y = 1 \) и \( y = -2 \).

Ответ: NaN

Решение №42592: Для построения графика функции \( y = f(x) \), обладающей свойствами \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 3 \) и \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -4 \), можно рассмотреть функцию вида: \[ f(x) = a \tanh(bx) + c \] где \( \tanh(x) \) — гиперболический тангенс, который обладает свойствами \( \lim_{x \to \infty} \tanh(x) = 1 \) и \( \lim_{x \to -\infty} \tanh(x) = -1 \). 1. **Определим коэффициенты \( a \), \( b \) и \( c \)**: - Для того чтобы \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 3 \), должно выполняться: \[ a \cdot 1 + c = 3 \implies a + c = 3 \] - Для того чтобы \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -4 \), должно выполняться: \[ a \cdot (-1) + c = -4 \implies -a + c = -4 \] 2. **Решим систему уравнений**: \[ \begin{cases} a + c = 3 \\ -a + c = -4 \end{cases} \] Сложим оба уравнения: \[ (a + c) + (-a + c) = 3 + (-4) \implies 2c = -1 \implies c = -1 \] Подставим \( c = -1 \) в первое уравнение: \[ a - 1 = 3 \implies a = 4 \] 3. **Функция принимает вид**: \[ f(x) = 4 \tanh(bx) - 1 \] Коэффициент \( b \) определяет масштаб изменения функции. Для удобства возьмем \( b = 1 \). 4. **Итоговая функция**: \[ f(x) = 4 \tanh(x) - 1 \] 5. **Построение графика**: График функции \( f(x) = 4 \tanh(x) - 1 \) будет иметь следующие свойства: - При \( x \to \infty \), \( f(x) \to 3 \) - При \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -4 \) График гиперболического тангенса \( \tanh(x) \) представляет собой S-образную кривую, которая плавно переходит от -1 до 1. Умножение на 4 и сдвиг на -1 дадут нам нужные пределы. ```html

Ответ: NaN

Решение №42593: Для построения графика функции \( y = f(x) \), обладающей свойствами \( \lim \limits_{x\to\infty} f(x) = 5 \) и \( f(x) > 0 \) на \( (-\infty; +\infty) \), можно рассмотреть функцию, которая удовлетворяет этим условиям. Одной из таких функций является \( f(x) = 5 + e^{-x} \). Пошаговое решение:

1. Выберем функцию \( f(x) = 5 + e^{-x} \).
2. Проверим, что \( \lim \limits_{x\to\infty} f(x) = 5 \):
\[ \lim \limits_{x\to\infty} (5 + e^{-x}) = 5 + \lim \limits_{x\to\infty} e^{-x} = 5 + 0 = 5 \]
3. Проверим, что \( f(x) > 0 \) на \( (-\infty; +\infty) \):
\[ f(x) = 5 + e^{-x} > 0 \quad \text{для всех} \quad x \in (-\infty; +\infty) \] Так как \( e^{-x} > 0 \) для всех \( x \), то \( 5 + e^{-x} > 0 \) всегда.
4. Построим график функции \( f(x) = 5 + e^{-x} \):
1. Для \( x \to -\infty \), \( e^{-x} \to \infty \), следовательно, \( f(x) \to \infty \).
2. Для \( x \to \infty \), \( e^{-x} \to 0 \), следовательно, \( f(x) \to 5 \).
3. При \( x = 0 \), \( f(0) = 5 + e^0 = 5 + 1 = 6 \).
4. При \( x = 1 \), \( f(1) = 5 + e^{-1} \approx 5 + 0.3679 \approx 5.3679 \).
5. При \( x = -1 \), \( f(-1) = 5 + e \approx 5 + 2.7183 \approx 7.7183 \).
5. График функции \( f(x) = 5 + e^{-x} \) будет иметь вид экспоненциально убывающей кривой, которая асимптотически приближается к горизонтали \( y = 5 \) при \( x \to \infty \) и стремится к бесконечности при \( x \to -\infty \).

Ответ: NaN

Решение №42594: Для построения графика функции \( y = f(x) \), обладающей свойствами \(\lim \limits_{x\to -\infty} f(x)= -3\) и \(f(x) \geq 0\) на \([-7; 3]\), выполним следующие шаги:

1. Выберем функцию, которая удовлетворяет указанным свойствам. Одним из возможных вариантов является функция вида:
\[ f(x) = \frac{3x}{x+7} \]
2. Проверим предел функции при \( x \to -\infty \):
\[ \lim \limits_{x \to -\infty} \frac{3x}{x+7} = \lim \limits_{x \to -\infty} \frac{3}{1 + \frac{7}{x}} = \frac{3}{1 + 0} = 3 \]
3. Проверим неравенство \( f(x) \geq 0 \) на \([-7; 3]\):
\[ f(x) \geq 0 \implies \frac{3x}{x+7} \geq 0 \]
4. Рассмотрим знак функции на интервале \([-7; 3]\):
\[ \frac{3x}{x+7} \geq 0 \] \[ \text{Это неравенство выполняется, если \( x \geq 0 \) или \( x \leq -7 \).} \]
5. Построим график функции \( f(x) = \frac{3x}{x+7} \):
\[ \text{График функции будет иметь горизонтальную асимптоту при \( y = 3 \) и вертикальную асимптоту при \( x = -7 \).} \]
6. Определим точки пересечения графика с осями координат:
\[ f(0) = \frac{3 \cdot 0}{0 + 7} = 0 \] \[ f(-7) \text{ не определена (вертикальная асимптота)} \]
7. Построим график функции:
\[ \text{График будет иметь следующие особенности:} \] \[ \text{1. Горизонтальная асимптота при \( y = 3 \).} \] \[ \text{2. Вертикальная асимптота при \( x = -7 \).} \] \[ \text{3. Проходит через точку (0, 0).} \] \[ \text{4. На интервале \([-7; 3]\) функция неотрицательна.} \]

Ответ: NaN

Решение №42595: Для построения графика функции \( y = f(x) \), обладающей свойствами \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \) и \( f(x) > 0 \) на \([0; +\infty)\), можно рассмотреть функцию \( f(x) = \frac{1}{x+1} \). ### Пошаговое решение:

1. Выберем функцию \( f(x) = \frac{1}{x+1} \).
2. Проверим, что функция удовлетворяет условию \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+1} = 0 \] Это верно, так как при \( x \to \infty \) знаменатель стремится к бесконечности, а числитель остается постоянным.
3. Проверим, что функция удовлетворяет условию \( f(x) > 0 \) на \([0; +\infty)\): \[ \frac{1}{x+1} > 0 \quad \text{для всех} \quad x \geq 0 \] Это верно, так как знаменатель \( x+1 \) всегда положителен для \( x \geq 0 \).
4. Построим график функции \( f(x) = \frac{1}{x+1} \).
5. Проведем таблицу значений для некоторых точек \( x \):

   x	f(x)
   0	1
   1	0.5
   2	0.33
   3	0.25
   4	0.2
   5	0.17

6. Нарисуем график по полученным значениям. График будет гиперболой, асимптотически приближающейся к оси \( x \) при \( x \to \infty \).

Ответ: NaN

Решение №42596: Для построения графика функции \( y = f(x) \), обладающей указанными свойствами: \(\lim \limits_{x\to -\infty} f(x)= 0\) и \(f(x)<0\) на \((-\infty; +\infty)\), выполним следующие шаги:

1. Выбрать функцию, удовлетворяющую условиям:
\[ f(x) = -e^x \] Эта функция удовлетворяет условию \(\lim \limits_{x\to -\infty} f(x)= 0\) и \(f(x)<0\) на \((-\infty; +\infty)\).
2. Рассчитать предел функции при \( x \to -\infty \):
\[ \lim \limits_{x\to -\infty} (-e^x) = 0 \] Поскольку \( e^x \) стремится к нулю при \( x \to -\infty \), то и \(-e^x\) также стремится к нулю.
3. Проверить, что функция \( f(x) \) отрицательна на всей числовой прямой:
\[ f(x) = -e^x < 0 \quad \text{для всех } x \in (-\infty; +\infty) \] Поскольку \( e^x \) всегда положительно, то \(-e^x\) всегда отрицательно.
4. Построить график функции \( f(x) = -e^x \):

Ответ: NaN

Решение №42597: Для построения графика функции \( y = h(x) \), \( x \in \mathbb{R} \), обладающей свойствами: 1. \(\lim \limits_{x\to \infty} h(x) = 4\) 2. Функция возрастает Можно рассмотреть функцию вида \( h(x) = 4 - e^{-x} \). ### Пошаговое решение:

1. Определим функцию \( h(x) \):
\[ h(x) = 4 - e^{-x} \]
2. Проверим, что функция удовлетворяет условию \(\lim \limits_{x\to \infty} h(x) = 4\):
\[ \lim \limits_{x\to \infty} h(x) = \lim \limits_{x\to \infty} (4 - e^{-x}) = 4 - \lim \limits_{x\to \infty} e^{-x} = 4 - 0 = 4 \]
3. Проверим, что функция возрастает:
\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(4 - e^{-x}) = 0 - (-e^{-x}) = e^{-x} \] \[ e^{-x} > 0 \quad \text{для всех} \quad x \in \mathbb{R} \] Поскольку производная \( h'(x) \) положительна для всех \( x \), функция \( h(x) \) возрастает на всей области определения.
4. Построим график функции \( h(x) = 4 - e^{-x} \):
• Начнем с \( x = -\infty \): \[ \lim \limits_{x\to -\infty} h(x) = \lim \limits_{x\to -\infty} (4 - e^{-x}) = 4 - \infty = -\infty \]
• Затем \( x = 0 \): \[ h(0) = 4 - e^{-0} = 4 - 1 = 3 \]
• Затем \( x = \infty \): \[ \lim \limits_{x\to \infty} h(x) = 4 \]
График функции \( h(x) = 4 - e^{-x} \) будет возрастать от \(-\infty\) до \(4\), приближаясь к \(4\) при \( x \to \infty \).

Ответ: NaN

Решение №42598: Для построения графика функции \( y = h(x) \), обладающей указанными свойствами: \(\lim \limits_{x\to -\infty} h(x)= 5\) и функция убывает, можно рассмотреть функцию вида \( h(x) = 5 - \arctan(x) \). Давайте пройдемся по шагам, чтобы понять, почему эта функция подходит.

1. Определим функцию \( h(x) \):
\[ h(x) = 5 - \arctan(x) \]
2. Проверим предел функции при \( x \to -\infty \):
\[ \lim \limits_{x\to -\infty} h(x) = \lim \limits_{x\to -\infty} (5 - \arctan(x)) = 5 - \lim \limits_{x\to -\infty} \arctan(x) \] Так как \(\lim \limits_{x\to -\infty} \arctan(x) = -\frac{\pi}{2}\), то: \[ \lim \limits_{x\to -\infty} h(x) = 5 - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 5 + \frac{\pi}{2} \] Однако, это не совпадает с заданным пределом 5. Поэтому функция \( h(x) = 5 - \arctan(x) \) не подходит.
3. Попробуем другую функцию. Рассмотрим функцию вида \( h(x) = 5 + e^{-x} \):
\[ h(x) = 5 + e^{-x} \]
4. Проверим предел функции при \( x \to -\infty \):
\[ \lim \limits_{x\to -\infty} h(x) = \lim \limits_{x\to -\infty} (5 + e^{-x}) = 5 + \lim \limits_{x\to -\infty} e^{-x} \] Так как \(\lim \limits_{x\to -\infty} e^{-x} = \infty\), то: \[ \lim \limits_{x\to -\infty} h(x) = 5 + \infty = \infty \] Это тоже не совпадает с заданным пределом 5. Поэтому функция \( h(x) = 5 + e^{-x} \) не подходит.
5. Рассмотрим функцию \( h(x) = 5 - e^x \):
\[ h(x) = 5 - e^x \]
6. Проверим предел функции при \( x \to -\infty \):
\[ \lim \limits_{x\to -\infty} h(x) = \lim \limits_{x\to -\infty} (5 - e^x) = 5 - \lim \limits_{x\to -\infty} e^x \] Так как \(\lim \limits_{x\to -\infty} e^x = 0\), то: \[ \lim \limits_{x\to -\infty} h(x) = 5 - 0 = 5 \] Это совпадает с заданным пределом 5.
7. Проверим, является ли функция убывающей:
\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(5 - e^x) = -e^x \] Так как \( e^x \) всегда положительно для всех \( x \), то \( h'(x) = -e^x \) всегда отрицательно, что означает, что функция \( h(x) \) убывает на всей числовой прямой.

Ответ: NaN

Решение №42599: Для построения графика функции \( y = h(x) \), обладающей свойствами \(\lim \limits_{x \to -\infty} h(x) = -2\) и возрастающей, можно рассмотреть следующую функцию: \[ h(x) = -2 + e^x \] Пошаговое решение:

1. Определим функцию \( h(x) \):
\[ h(x) = -2 + e^x \]
2. Проверим предел функции при \( x \to -\infty \):
\[ \lim \limits_{x \to -\infty} h(x) = \lim \limits_{x \to -\infty} (-2 + e^x) = -2 + \lim \limits_{x \to -\infty} e^x = -2 + 0 = -2 \]
3. Проверим, что функция возрастает:
Найдем производную функции \( h(x) \): \[ h'(x) = \frac{d}{dx}(-2 + e^x) = e^x \] Поскольку \( e^x > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \), то \( h'(x) > 0 \), что означает, что функция возрастает на всей области определения.
4. Построим график функции \( h(x) \):
График функции \( h(x) = -2 + e^x \) будет представлять собой экспоненциальную кривую, сдвинутую вниз на 2 единицы. При \( x \to -\infty \) функция стремится к горизонтальной асимптоте \( y = -2 \), а при \( x \to \infty \) функция стремится к бесконечности.

Ответ: NaN

Решение №42600: Для построения графика функции \( y = h(x) \), обладающей свойствами: 1. \(\lim \limits_{x \to \infty} h(x) = -3\) 2. Функция убывает Мы можем рассмотреть функцию вида \( h(x) = -3 + e^{-x} \). Давайте проверим, что эта функция удовлетворяет указанным свойствам. ### Шаг 1: Проверка предела при \( x \to \infty \) \[ \lim \limits_{x \to \infty} h(x) = \lim \limits_{x \to \infty} (-3 + e^{-x}) \] Поскольку \( e^{-x} \) стремится к нулю при \( x \to \infty \), то: \[ \lim \limits_{x \to \infty} (-3 + e^{-x}) = -3 \] ### Шаг 2: Проверка того, что функция убывает Найдем производную функции \( h(x) \): \[ h'(x) = \frac{d}{dx}(-3 + e^{-x}) = -e^{-x} \] Поскольку \( e^{-x} \) всегда положительно, то \( h'(x) = -e^{-x} \) всегда отрицательно. Это означает, что функция \( h(x) \) убывает на всей области определения. ### Шаг 3: Построение графика Теперь мы можем построить график функции \( h(x) = -3 + e^{-x} \). 1. **Область определения**: \( x \in \mathbb{R} \) 2. **Горизонтальная асимптота**: \( y = -3 \) 3. **Поведение функции**: Функция убывает по всей области определения. ### График График функции \( h(x) = -3 + e^{-x} \) будет выглядеть следующим образом: ```html

Ответ: NaN

Решение №42601: Для построения графика функции \( y = h(x) \), обладающей свойствами: 1. \(\lim \limits_{x\to - \infty} h(x) = 1\) 2. Функция ограничена сверху Мы можем рассмотреть функцию \( h(x) = \frac{x}{x+1} \). Давайте проверим, что эта функция удовлетворяет указанным свойствам.

1. Найти предел функции \( h(x) \) при \( x \to -\infty \):
\[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x+1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{1 + 0} = 1 \]
2. Проверить, что функция ограничена сверху:
\[ h(x) = \frac{x}{x+1} \] Для того чтобы проверить, что функция ограничена сверху, рассмотрим её поведение при \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{1 + 0} = 1 \] Таким образом, функция \( h(x) \) ограничена сверху значением 1.
3. Построить график функции \( h(x) = \frac{x}{x+1} \):

График функции \( h(x) = \frac{x}{x+1} \) будет иметь горизонтальную асимптоту \( y = 1 \) при \( x \to -\infty \) и при \( x \to \infty \).
График также будет иметь вертикальную асимптоту в точке \( x = -1 \), так как знаменатель равен нулю в этой точке.

Ответ: NaN