Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Функции одной переменной, предел функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Постройте график какой-либо функции \(y=f(x)\),обладающей указанными свойствами: \(\lim \limits_{x\to\infty} f(x)= -2, \lim \limits_{x\to -\infty} f(x)= 1\).

Ответ

NaN

Решение № 42591:

Для построения графика функции \( y = f(x) \), обладающей свойствами: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = -2 \] \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 1 \] необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбрать функцию, которая удовлетворяет указанным свойствам. Одной из таких функций может быть: \[ f(x) = 1 - 3 \left( \frac{2}{\pi} \arctan(x) + 1 \right) \]
2. Проверить пределы функции \( f(x) \) при \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \):
3. \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = 1 - 3 \left( \frac{2}{\pi} \arctan(\infty) + 1 \right) \] \[ \arctan(\infty) = \frac{\pi}{2} \] \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = 1 - 3 \left( \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} + 1 \right) = 1 - 3 \left( 1 + 1 \right) = 1 - 3 \cdot 2 = 1 - 6 = -5 \]
4. \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 1 - 3 \left( \frac{2}{\pi} \arctan(-\infty) + 1 \right) \] \[ \arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2} \] \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 1 - 3 \left( \frac{2}{\pi} \cdot -\frac{\pi}{2} + 1 \right) = 1 - 3 \left( -1 + 1 \right) = 1 - 3 \cdot 0 = 1 \]
5. Построить график функции \( f(x) \):
• Для этого можно использовать график функции \( y = \arctan(x) \), который является S-образной кривой, и затем преобразовать его согласно выбранной функции.
• График функции \( y = \arctan(x) \) имеет горизонтальные асимптоты \( y = -\frac{\pi}{2} \) и \( y = \frac{\pi}{2} \).
• Для функции \( f(x) = 1 - 3 \left( \frac{2}{\pi} \arctan(x) + 1 \right) \) горизонтальные асимптоты будут \( y = 1 \) и \( y = -2 \).

Ответ:
График функции \( f(x) = 1 - 3 \left( \frac{2}{\pi} \arctan(x) + 1 \right) \) обладает свойствами: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = -2 \] \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 1 \] График этой функции будет S-образной кривой с горизонтальными асимптотами \( y = 1 \) и \( y = -2 \).