Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Функции одной переменной, предел функции,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Постройте график какой-нибудь функции \(y= h(x), x \in R\), обладающей указанными свойствами: \(\lim \limits_{x\to \infty} h(x)= 4\) и функция возрастает.
Ответ
NaN
Решение № 42597:
Для построения графика функции \( y = h(x) \), \( x \in \mathbb{R} \), обладающей свойствами:
1. \(\lim \limits_{x\to \infty} h(x) = 4\)
2. Функция возрастает
Можно рассмотреть функцию вида \( h(x) = 4 - e^{-x} \).
### Пошаговое решение:
-
Определим функцию \( h(x) \):
\[
h(x) = 4 - e^{-x}
\]
-
Проверим, что функция удовлетворяет условию \(\lim \limits_{x\to \infty} h(x) = 4\):
\[
\lim \limits_{x\to \infty} h(x) = \lim \limits_{x\to \infty} (4 - e^{-x}) = 4 - \lim \limits_{x\to \infty} e^{-x} = 4 - 0 = 4
\]
-
Проверим, что функция возрастает:
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(4 - e^{-x}) = 0 - (-e^{-x}) = e^{-x}
\]
\[
e^{-x} > 0 \quad \text{для всех} \quad x \in \mathbb{R}
\]
Поскольку производная \( h'(x) \) положительна для всех \( x \), функция \( h(x) \) возрастает на всей области определения.
-
Построим график функции \( h(x) = 4 - e^{-x} \):
- Начнем с \( x = -\infty \):
\[
\lim \limits_{x\to -\infty} h(x) = \lim \limits_{x\to -\infty} (4 - e^{-x}) = 4 - \infty = -\infty
\]
- Затем \( x = 0 \):
\[
h(0) = 4 - e^{-0} = 4 - 1 = 3
\]
- Затем \( x = \infty \):
\[
\lim \limits_{x\to \infty} h(x) = 4
\]
График функции \( h(x) = 4 - e^{-x} \) будет возрастать от \(-\infty\) до \(4\), приближаясь к \(4\) при \( x \to \infty \).
### График функции \( h(x) = 4 - e^{-x} \):
```python
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Определим функцию h(x)
def h(x):
return 4 - np.exp(-x)
# Создадим массив значений x
x = np.linspace(-10, 10, 400)
y = h(x)
# Построим график
plt.plot(x, y, label='h(x) = 4 - e^(-x)')
plt.axhline(y=4, color='r', linestyle='--', label='y = 4')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('h(x)')
plt.title('График функции h(x) = 4 - e^(-x)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
```
### Вывод:
Функция \( h(x) = 4 - e^{-x} \) удовлетворяет условиям задачи: она возрастает и имеет предел \( \lim \limits_{x\to \infty} h(x) = 4 \).