Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Функции одной переменной, предел функции,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Постройте график какой-либо функции \(y=f(x)\),обладающей указанными свойствами: \(\lim \limits_{x\to\infty} f(x)= 5\) и \(f(x)>0\) на \((-\infty; +\infty)\).
Ответ
NaN
Решение № 42593:
Для построения графика функции \( y = f(x) \), обладающей свойствами \( \lim \limits_{x\to\infty} f(x) = 5 \) и \( f(x) > 0 \) на \( (-\infty; +\infty) \), можно рассмотреть функцию, которая удовлетворяет этим условиям. Одной из таких функций является \( f(x) = 5 + e^{-x} \).
Пошаговое решение:
-
Выберем функцию \( f(x) = 5 + e^{-x} \).
-
Проверим, что \( \lim \limits_{x\to\infty} f(x) = 5 \):
\[
\lim \limits_{x\to\infty} (5 + e^{-x}) = 5 + \lim \limits_{x\to\infty} e^{-x} = 5 + 0 = 5
\]
-
Проверим, что \( f(x) > 0 \) на \( (-\infty; +\infty) \):
\[
f(x) = 5 + e^{-x} > 0 \quad \text{для всех} \quad x \in (-\infty; +\infty)
\]
Так как \( e^{-x} > 0 \) для всех \( x \), то \( 5 + e^{-x} > 0 \) всегда.
-
Построим график функции \( f(x) = 5 + e^{-x} \):
-
Для \( x \to -\infty \), \( e^{-x} \to \infty \), следовательно, \( f(x) \to \infty \).
-
Для \( x \to \infty \), \( e^{-x} \to 0 \), следовательно, \( f(x) \to 5 \).
-
При \( x = 0 \), \( f(0) = 5 + e^0 = 5 + 1 = 6 \).
-
При \( x = 1 \), \( f(1) = 5 + e^{-1} \approx 5 + 0.3679 \approx 5.3679 \).
-
При \( x = -1 \), \( f(-1) = 5 + e \approx 5 + 2.7183 \approx 7.7183 \).
-
График функции \( f(x) = 5 + e^{-x} \) будет иметь вид экспоненциально убывающей кривой, которая асимптотически приближается к горизонтали \( y = 5 \) при \( x \to \infty \) и стремится к бесконечности при \( x \to -\infty \).
Ответ:
График функции \( f(x) = 5 + e^{-x} \) обладает свойствами \( \lim \limits_{x\to\infty} f(x) = 5 \) и \( f(x) > 0 \) на \( (-\infty; +\infty) \).