Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Функции одной переменной, предел функции,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Постройте график какой-либо функции \(y=f(x)\),обладающей указанными свойствами: \(\lim \limits_{x\to\infty} f(x)= 3, \lim \limits_{x\to -\infty} f(x)= -4\).
Ответ
NaN
Решение № 42592:
Для построения графика функции \( y = f(x) \), обладающей свойствами \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 3 \) и \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -4 \), можно рассмотреть функцию вида: \[ f(x) = a \tanh(bx) + c \] где \( \tanh(x) \) — гиперболический тангенс, который обладает свойствами \( \lim_{x \to \infty} \tanh(x) = 1 \) и \( \lim_{x \to -\infty} \tanh(x) = -1 \). 1. **Определим коэффициенты \( a \), \( b \) и \( c \)**: - Для того чтобы \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 3 \), должно выполняться: \[ a \cdot 1 + c = 3 \implies a + c = 3 \] - Для того чтобы \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -4 \), должно выполняться: \[ a \cdot (-1) + c = -4 \implies -a + c = -4 \] 2. **Решим систему уравнений**: \[ \begin{cases} a + c = 3 \\ -a + c = -4 \end{cases} \] Сложим оба уравнения: \[ (a + c) + (-a + c) = 3 + (-4) \implies 2c = -1 \implies c = -1 \] Подставим \( c = -1 \) в первое уравнение: \[ a - 1 = 3 \implies a = 4 \] 3. **Функция принимает вид**: \[ f(x) = 4 \tanh(bx) - 1 \] Коэффициент \( b \) определяет масштаб изменения функции. Для удобства возьмем \( b = 1 \). 4. **Итоговая функция**: \[ f(x) = 4 \tanh(x) - 1 \] 5. **Построение графика**: График функции \( f(x) = 4 \tanh(x) - 1 \) будет иметь следующие свойства: - При \( x \to \infty \), \( f(x) \to 3 \) - При \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -4 \) График гиперболического тангенса \( \tanh(x) \) представляет собой S-образную кривую, которая плавно переходит от -1 до 1. Умножение на 4 и сдвиг на -1 дадут нам нужные пределы. ```html