Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Функции одной переменной, предел функции,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Постройте график какой-нибудь функции \(y= h(x), x \in R\), обладающей указанными свойствами: \(\lim \limits_{x\to \infty} h(x)= -3\) и функция убывает.
Ответ
NaN
Решение № 42600:
Для построения графика функции \( y = h(x) \), обладающей свойствами: 1. \(\lim \limits_{x \to \infty} h(x) = -3\) 2. Функция убывает Мы можем рассмотреть функцию вида \( h(x) = -3 + e^{-x} \). Давайте проверим, что эта функция удовлетворяет указанным свойствам. ### Шаг 1: Проверка предела при \( x \to \infty \) \[ \lim \limits_{x \to \infty} h(x) = \lim \limits_{x \to \infty} (-3 + e^{-x}) \] Поскольку \( e^{-x} \) стремится к нулю при \( x \to \infty \), то: \[ \lim \limits_{x \to \infty} (-3 + e^{-x}) = -3 \] ### Шаг 2: Проверка того, что функция убывает Найдем производную функции \( h(x) \): \[ h'(x) = \frac{d}{dx}(-3 + e^{-x}) = -e^{-x} \] Поскольку \( e^{-x} \) всегда положительно, то \( h'(x) = -e^{-x} \) всегда отрицательно. Это означает, что функция \( h(x) \) убывает на всей области определения. ### Шаг 3: Построение графика Теперь мы можем построить график функции \( h(x) = -3 + e^{-x} \). 1. **Область определения**: \( x \in \mathbb{R} \) 2. **Горизонтальная асимптота**: \( y = -3 \) 3. **Поведение функции**: Функция убывает по всей области определения. ### График График функции \( h(x) = -3 + e^{-x} \) будет выглядеть следующим образом: ```html