Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Функции одной переменной, предел функции,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Постройте график какой-либо функции \(y=f(x)\),обладающей указанными свойствами: \(\lim \limits_{x\to\infty} f(x)= 0\) и \(f(x)>0\) на \([0; +\infty)\).
Ответ
NaN
Решение № 42595:
Для построения графика функции \( y = f(x) \), обладающей свойствами \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \) и \( f(x) > 0 \) на \([0; +\infty)\), можно рассмотреть функцию \( f(x) = \frac{1}{x+1} \).
### Пошаговое решение:
-
Выберем функцию \( f(x) = \frac{1}{x+1} \).
-
Проверим, что функция удовлетворяет условию \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \):
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+1} = 0
\]
Это верно, так как при \( x \to \infty \) знаменатель стремится к бесконечности, а числитель остается постоянным.
-
Проверим, что функция удовлетворяет условию \( f(x) > 0 \) на \([0; +\infty)\):
\[
\frac{1}{x+1} > 0 \quad \text{для всех} \quad x \geq 0
\]
Это верно, так как знаменатель \( x+1 \) всегда положителен для \( x \geq 0 \).
-
Построим график функции \( f(x) = \frac{1}{x+1} \).
-
Проведем таблицу значений для некоторых точек \( x \):
| x |
f(x) |
| 0 |
1 |
| 1 |
0.5 |
| 2 |
0.33 |
| 3 |
0.25 |
| 4 |
0.2 |
| 5 |
0.17 |
-
Нарисуем график по полученным значениям. График будет гиперболой, асимптотически приближающейся к оси \( x \) при \( x \to \infty \).
### График функции \( f(x) = \frac{1}{x+1} \):
```plaintext
y
│
│ *
│ *
│ *
│ *
│ *
│ *
│ *
│ *
│ *
│ *
│ *
│ *
│ *
│ *
│ *
│ *
│ *
│ *
│*
│________________________________________________________
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
```
### Ответ:
График функции \( f(x) = \frac{1}{x+1} \) обладает свойствами \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \) и \( f(x) > 0 \) на \([0; +\infty)\).