Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Функции одной переменной, предел функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Выясните, имеет ли функция \(y=f(x)\)предел при\(x \rightarrow + \infty\), \(x \rightarrow -\infty\) или \(x \rightarrow \infty\) и чему он равен, если: прямая \(y=5\) является горизонтальной асимптотой графика функции на луче \([4; +\infty)\).

Ответ

NaN

Решение № 42576:

Для выяснения, имеет ли функция \( y = f(x) \) предел при \( x \rightarrow +\infty \), \( x \rightarrow -\infty \) или \( x \rightarrow \infty \) и чему он равен, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассмотрим условие задачи: прямая \( y = 5 \) является горизонтальной асимптотой графика функции на луче \([4; +\infty)\). Это означает, что при \( x \rightarrow +\infty \) функция \( f(x) \) стремится к значению 5.
2. Для проверки существования предела при \( x \rightarrow +\infty \), вычислим:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 5 \] Это следует из условия, что \( y = 5 \) является горизонтальной асимптотой на луче \([4; +\infty)\).
3. Теперь проверим существование предела при \( x \rightarrow -\infty \). Для этого рассмотрим поведение функции на луче \((-\infty; 4)\).
4. Если функция \( f(x) \) имеет предел при \( x \rightarrow -\infty \), то этот предел должен совпадать с горизонтальной асимптотой на луче \([4; +\infty)\), так как горизонтальная асимптота определяет поведение функции на бесконечности.
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 5 \]
5. Теперь проверим существование предела при \( x \rightarrow \infty \). Это означает, что мы рассматриваем поведение функции при стремлении \( x \) к бесконечности в обоих направлениях (как \( x \rightarrow +\infty \), так и \( x \rightarrow -\infty \)).
\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = 5 \]
6. Таким образом, функция \( f(x) \) имеет предел при \( x \rightarrow \infty \), и этот предел равен 5.

Ответ:
Функция \( y = f(x) \) имеет предел при \( x \rightarrow \infty \), и этот предел равен \( 5 \).