Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Функции одной переменной, предел функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Постройте график какой-нибудь функции \(y= h(x), x \in R\), обладающей указанными свойствами: \(\lim \limits_{x\to -\infty} h(x)= 5\) и функция убывает.

Ответ

NaN

Решение № 42598:

Для построения графика функции \( y = h(x) \), обладающей указанными свойствами: \(\lim \limits_{x\to -\infty} h(x)= 5\) и функция убывает, можно рассмотреть функцию вида \( h(x) = 5 - \arctan(x) \). Давайте пройдемся по шагам, чтобы понять, почему эта функция подходит.

1. Определим функцию \( h(x) \):
\[ h(x) = 5 - \arctan(x) \]
2. Проверим предел функции при \( x \to -\infty \):
\[ \lim \limits_{x\to -\infty} h(x) = \lim \limits_{x\to -\infty} (5 - \arctan(x)) = 5 - \lim \limits_{x\to -\infty} \arctan(x) \] Так как \(\lim \limits_{x\to -\infty} \arctan(x) = -\frac{\pi}{2}\), то: \[ \lim \limits_{x\to -\infty} h(x) = 5 - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 5 + \frac{\pi}{2} \] Однако, это не совпадает с заданным пределом 5. Поэтому функция \( h(x) = 5 - \arctan(x) \) не подходит.
3. Попробуем другую функцию. Рассмотрим функцию вида \( h(x) = 5 + e^{-x} \):
\[ h(x) = 5 + e^{-x} \]
4. Проверим предел функции при \( x \to -\infty \):
\[ \lim \limits_{x\to -\infty} h(x) = \lim \limits_{x\to -\infty} (5 + e^{-x}) = 5 + \lim \limits_{x\to -\infty} e^{-x} \] Так как \(\lim \limits_{x\to -\infty} e^{-x} = \infty\), то: \[ \lim \limits_{x\to -\infty} h(x) = 5 + \infty = \infty \] Это тоже не совпадает с заданным пределом 5. Поэтому функция \( h(x) = 5 + e^{-x} \) не подходит.
5. Рассмотрим функцию \( h(x) = 5 - e^x \):
\[ h(x) = 5 - e^x \]
6. Проверим предел функции при \( x \to -\infty \):
\[ \lim \limits_{x\to -\infty} h(x) = \lim \limits_{x\to -\infty} (5 - e^x) = 5 - \lim \limits_{x\to -\infty} e^x \] Так как \(\lim \limits_{x\to -\infty} e^x = 0\), то: \[ \lim \limits_{x\to -\infty} h(x) = 5 - 0 = 5 \] Это совпадает с заданным пределом 5.
7. Проверим, является ли функция убывающей:
\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(5 - e^x) = -e^x \] Так как \( e^x \) всегда положительно для всех \( x \), то \( h'(x) = -e^x \) всегда отрицательно, что означает, что функция \( h(x) \) убывает на всей числовой прямой.

Таким образом, функция \( h(x) = 5 - e^x \) обладает указанными свойствами: \(\lim \limits_{x\to -\infty} h(x)= 5\) и функция убывает. График функции \( h(x) = 5 - e^x \) будет выглядеть следующим образом: ```python import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np x = np.linspace(-5, 5, 400) y = 5 - np.exp(x) plt.plot(x, y, label='h(x) = 5 - e^x') plt.axhline(y=5, color='r', linestyle='--', label='y = 5') plt.xlabel('x') plt.ylabel('h(x)') plt.title('График функции h(x) = 5 - e^x') plt.legend() plt.grid(True) plt.show() ``` Этот код на Python с использованием библиотеки matplotlib построит график функции \( h(x) = 5 - e^x \), который удовлетворяет всем указанным свойствам.