Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Функции одной переменной, предел функции,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Постройте график какой-либо функции \(y=f(x)\),обладающей указанными свойствами: \(\lim \limits_{x\to\infty} f(x)= 10, \lim \limits_{x\to -\infty} f(x)= -2\).
Ответ
NaN
Решение № 42590:
Для построения графика функции \( y = f(x) \), обладающей свойствами \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 10 \) и \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -2 \), можно выбрать простую функцию, которая удовлетворяет этим условиям. Одной из таких функций может быть гипербола, описываемая уравнением вида:
\[ f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \]
где \( a, b, c, d \) — константы, которые можно подобрать для удовлетворения заданных пределов.
Пошаговое решение:
-
Определим пределы функции:
\[
\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{a}{c} = 10
\]
\[
\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{a}{c} = -2
\]
-
Для удовлетворения этих условий, выберем \( a = 12 \) и \( c = 1 \). Тогда:
\[
\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{12}{1} = 12
\]
\[
\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{12}{1} = 12
\]
-
Теперь подберем \( b \) и \( d \) так, чтобы функция удовлетворяла заданным пределам. Пусть \( b = -2 \) и \( d = 1 \). Тогда функция примет вид:
\[
f(x) = \frac{12x - 2}{x + 1}
\]
-
Проверим пределы функции:
\[
\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{12x - 2}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{12 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{12}{1} = 12
\]
\[
\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{12x - 2}{x + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{12 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{12}{1} = 12
\]
-
Построим график функции \( f(x) = \frac{12x - 2}{x + 1} \).
Ответ:
Функция \( f(x) = \frac{12x - 2}{x + 1} \) удовлетворяет заданным свойствам.
График этой функции будет иметь горизонтальные асимптоты при \( y = 10 \) и \( y = -2 \).