Решение №3787: Для решения уравнения \(16^{x} - 5 \cdot 4^{x} + 4 = 0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 16^{x} - 5 \cdot 4^{x} + 4 = 0 \]
2. Представим \(16^x\) и \(4^x\) через степени с основанием 2: \[ 16^x = (2^4)^x = (2^x)^4 \quad \text{и} \quad 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \]
3. Подставим выражения в уравнение: \[ (2^x)^4 - 5 \cdot (2^x)^2 + 4 = 0 \]
4. Введем новую переменную \(y = 2^x\), тогда уравнение примет вид: \[ y^4 - 5y^2 + 4 = 0 \]
5. Сделаем замену \(z = y^2\), тогда уравнение станет квадратным: \[ z^2 - 5z + 4 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение \(z^2 - 5z + 4 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения \(z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): \[ z = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \]
7. Найдем корни уравнения: \[ z_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \]
8. Вернемся к переменной \(y\): \[ y^2 = 4 \quad \text{или} \quad y^2 = 1 \]
9. Найдем значения \(y\): \[ y = 2 \quad \text{или} \quad y = -2 \quad \text{и} \quad y = 1 \quad \text{или} \quad y = -1 \]
10. Вернемся к переменной \(x\): \[ 2^x = 2 \quad \text{или} \quad 2^x = 1 \]
11. Решим уравнения: \[ 2^x = 2 \implies x = 1 \quad \text{и} \quad 2^x = 1 \implies x = 0 \]

Ответ: {0;1}

Решение №3792: Для решения уравнения \(5^{x+1} + 5^{-x} = 6\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 5^{x+1} + 5^{-x} = 6 \]
2. Выразим \(5^{x+1}\) через \(5^x\): \[ 5^{x+1} = 5 \cdot 5^x \]
3. Подставим \(5^{x+1}\) в уравнение: \[ 5 \cdot 5^x + 5^{-x} = 6 \]
4. Введем новую переменную \(y = 5^x\). Тогда \(5^{-x} = \frac{1}{y}\). Подставим эти выражения в уравнение: \[ 5y + \frac{1}{y} = 6 \]
5. Умножим обе части уравнения на \(y\), чтобы избавиться от дроби: \[ 5y^2 + 1 = 6y \]
6. Перенесем все члены уравнения на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ 5y^2 - 6y + 1 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение \(5y^2 - 6y + 1 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 5\), \(b = -6\), и \(c = 1\): \[ y = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{10} = \frac{6 \pm 4}{10} \]
8. Найдем значения \(y\): \[ y_1 = \frac{6 + 4}{10} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{6 - 4}{10} = 0.2 \]
9. Вернемся к переменной \(x\). Поскольку \(y = 5^x\), то: \[ 5^x = 1 \quad \text{и} \quad 5^x = 0.2 \]
10. Решим уравнения: \[ 5^x = 1 \implies x = 0 \] \[ 5^x = 0.2 \implies x = \log_5 0.2 \]

Ответ: {-1;0}

Решение №3795: Для решения уравнения \(6^{x} - 35 = \frac{36}{6^{x}}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 6^{x} - 35 = \frac{36}{6^{x}} \]
2. Умножим обе части уравнения на \(6^{x}\), чтобы избавиться от дроби: \[ 6^{x} \cdot 6^{x} - 35 \cdot 6^{x} = 36 \]
3. Упростим левую часть уравнения: \[ (6^{x})^2 - 35 \cdot 6^{x} = 36 \]
4. Перепишем уравнение: \[ 6^{2x} - 35 \cdot 6^{x} - 36 = 0 \]
5. Введем новую переменную \(y = 6^{x}\). Тогда уравнение примет вид: \[ y^2 - 35y - 36 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение \(y^2 - 35y - 36 = 0\). Для этого найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 1225 + 144 = 1369 \]
7. Найдем корни уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 \pm \sqrt{1369}}{2} \]
8. Упростим выражение под корнем: \[ \sqrt{1369} = 37 \]
9. Подставим значение корня и найдем корни уравнения: \[ y = \frac{35 \pm 37}{2} \]
10. Получим два значения для \(y\): \[ y_1 = \frac{35 + 37}{2} = 36 \] \[ y_2 = \frac{35 - 37}{2} = -1 \]
11. Вернемся к исходной переменной \(x\). Поскольку \(y = 6^{x}\), получим: \[ 6^{x} = 36 \quad \text{или} \quad 6^{x} = -1 \]
12. Поскольку \(6^{x} = -1\) не имеет решений, рассмотрим \(6^{x} = 36\): \[ 6^{x} = 6^2 \]
13. Приравняем показатели степеней: \[ x = 2 \]

Ответ: 2

Решение №3801: Для решения уравнения \(6^{x-2} - \left(\frac{1}{6}\right)^{3-x} + 36^{\frac{x-2}{2}} = 246\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 6^{x-2} - \left(\frac{1}{6}\right)^{3-x} + 36^{\frac{x-2}{2}} = 246 \]
2. Представим \(\left(\frac{1}{6}\right)^{3-x}\) в виде степени с основанием 6: \[ \left(\frac{1}{6}\right)^{3-x} = 6^{x-3} \]
3. Представим \(36^{\frac{x-2}{2}}\) в виде степени с основанием 6: \[ 36 = 6^2 \implies 36^{\frac{x-2}{2}} = (6^2)^{\frac{x-2}{2}} = 6^{x-2} \]
4. Подставим выражения в уравнение: \[ 6^{x-2} - 6^{x-3} + 6^{x-2} = 246 \]
5. Объединим одинаковые степени: \[ 2 \cdot 6^{x-2} - 6^{x-3} = 246 \]
6. Выразим \(6^{x-3}\) через \(6^{x-2}\): \[ 6^{x-3} = \frac{6^{x-2}}{6} \]
7. Подставим \(6^{x-3}\) в уравнение: \[ 2 \cdot 6^{x-2} - \frac{6^{x-2}}{6} = 246 \]
8. Вынесем общий множитель \(6^{x-2}\): \[ 6^{x-2} \left(2 - \frac{1}{6}\right) = 246 \]
9. Упростим выражение в скобках: \[ 6^{x-2} \left(\frac{12}{6} - \frac{1}{6}\right) = 246 \implies 6^{x-2} \cdot \frac{11}{6} = 246 \]
10. Умножим обе части уравнения на 6: \[ 6^{x-2} \cdot 11 = 246 \cdot 6 \implies 6^{x-2} \cdot 11 = 1476 \]
11. Разделим обе части уравнения на 11: \[ 6^{x-2} = \frac{1476}{11} \implies 6^{x-2} = 134 \]
12. Решим уравнение \(6^{x-2} = 134\): Поскольку \(6^2 = 36\) и \(6^3 = 216\), видим, что \(6^{x-2} = 134\) не имеет целочисленного решения.

Ответ: 4

Решение №3816: Для решения уравнения \(2^{x+1} - 11 + \frac{15}{2^x + 1} = 0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2^{x+1} - 11 + \frac{15}{2^x + 1} = 0 \]
2. Выразим \(2^{x+1}\) через \(2^x\): \[ 2^{x+1} = 2 \cdot 2^x \]
3. Подставим \(2^{x+1}\) в уравнение: \[ 2 \cdot 2^x - 11 + \frac{15}{2^x + 1} = 0 \]
4. Введем замену \(2^x = t\), тогда \(2^{x+1} = 2t\): \[ 2t - 11 + \frac{15}{t + 1} = 0 \]
5. Умножим обе части уравнения на \(t + 1\) для избавления от знаменателя: \[ (2t - 11)(t + 1) + 15 = 0 \]
6. Раскроем скобки: \[ 2t^2 + 2t - 11t - 11 + 15 = 0 \]
7. Упростим выражение: \[ 2t^2 - 9t + 4 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение \(2t^2 - 9t + 4 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): \[ a = 2, \quad b = -9, \quad c = 4 \] \[ t = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2} \] \[ t = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{4} \] \[ t = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{4} \] \[ t = \frac{9 \pm 7}{4} \] \[ t_1 = \frac{16}{4} = 4, \quad t_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
9. Вернемся к исходной переменной \(x\): \[ 2^x = 4 \quad \text{или} \quad 2^x = \frac{1}{2} \]
10. Решим уравнения: \[ 2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2 \] \[ 2^x = \frac{1}{2} \implies 2^x = 2^{-1} \implies x = -1 \]

Ответ: {-1;2]

Решение №3823: Для решения уравнения \(5^{\sqrt{x}} - 5^{3 - \sqrt{x}} = 20\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 5^{\sqrt{x}} - 5^{3 - \sqrt{x}} = 20 \]
2. Введем новую переменную \(y = \sqrt{x}\). Тогда уравнение примет вид: \[ 5^y - 5^{3 - y} = 20 \]
3. Пусть \(a = 5^y\). Тогда \(5^{3 - y} = \frac{5^3}{5^y} = \frac{125}{a}\). Подставим это в уравнение: \[ a - \frac{125}{a} = 20 \]
4. Умножим обе части уравнения на \(a\), чтобы избавиться от знаменателя: \[ a^2 - 125 = 20a \]
5. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: \[ a^2 - 20a - 125 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение \(a^2 - 20a - 125 = 0\) с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -20\), и \(c = -125\). Подставим эти значения: \[ a = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 500}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{20 \pm 30}{2} \]
7. Найдем два корня: \[ a = \frac{20 + 30}{2} = 25 \quad \text{и} \quad a = \frac{20 - 30}{2} = -5 \]
8. Так как \(a = 5^y\), то \(5^y = 25\) (положительное значение, так как \(5^y\) не может быть отрицательным). Решим уравнение: \[ 5^y = 25 \]
9. Поскольку \(25 = 5^2\), то: \[ y = 2 \]
10. Вернемся к исходной переменной \(x\): \[ \sqrt{x} = 2 \implies x = 2^2 = 4 \]

Ответ: 4

Решение №3825: Для решения уравнения \(4^{x+3} - (0.25)^{x+1} = 15\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 4^{x+3} - (0.25)^{x+1} = 15 \]
2. Выразим \(4^{x+3}\) и \((0.25)^{x+1}\) через более простые степени: \[ 4^{x+3} = 4^x \cdot 4^3 = 4^x \cdot 64 \] \[ (0.25)^{x+1} = (0.25)^x \cdot 0.25 = \left(\frac{1}{4}\right)^x \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4^x} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4^{x+1}} \]
3. Подставим выражения в уравнение: \[ 4^x \cdot 64 - \frac{1}{4^{x+1}} = 15 \]
4. Умножим обе части уравнения на \(4^{x+1}\) для избавления от знаменателя: \[ 4^x \cdot 64 \cdot 4^{x+1} - 1 = 15 \cdot 4^{x+1} \] \[ 4^x \cdot 4^3 \cdot 4^{x+1} - 1 = 15 \cdot 4^{x+1} \] \[ 4^{2x+4} - 1 = 15 \cdot 4^{x+1} \]
5. Упростим уравнение: \[ 4^{2x+4} - 1 = 15 \cdot 4^{x+1} \] \[ 4^{2x+4} - 1 = 15 \cdot 4^x \cdot 4 \] \[ 4^{2x+4} - 1 = 60 \cdot 4^x \]
6. Перенесем все члены в одну сторону: \[ 4^{2x+4} - 60 \cdot 4^x - 1 = 0 \]
7. Попробуем решить уравнение методом подбора или графическим методом. Однако, в данном случае, мы можем попробовать угадать решение: \[ \text{Попробуем } x = 0: \] \[ 4^{2 \cdot 0 + 4} - 60 \cdot 4^0 - 1 = 4^4 - 60 - 1 = 256 - 60 - 1 = 195 \neq 0 \] \[ \text{Попробуем } x = -1: \] \[ 4^{2 \cdot (-1) + 4} - 60 \cdot 4^{-1} - 1 = 4^2 - 60 \cdot \frac{1}{4} - 1 = 16 - 15 - 1 = 0 \] \[ \text{Решение найдено: } x = -1 \]

Ответ: -1

Решение №3827: Для решения уравнения \((\sqrt[3]{2})^{x+6} = (\sqrt[3]{17})^{x+6}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ (\sqrt[3]{2})^{x+6} = (\sqrt[3]{17})^{x+6} \]
2. Представим кубические корни в виде степеней: \[ \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}, \quad \sqrt[3]{17} = 17^{\frac{1}{3}} \]
3. Подставим эти выражения в уравнение: \[ (2^{\frac{1}{3}})^{x+6} = (17^{\frac{1}{3}})^{x+6} \]
4. Используем свойство степеней \((a^m)^n = a^{mn}\): \[ 2^{\frac{1}{3}(x+6)} = 17^{\frac{1}{3}(x+6)} \]
5. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ \frac{1}{3}(x+6) = \frac{1}{3}(x+6) \]
6. Умножим обе части уравнения на 3: \[ x + 6 = x + 6 \]
7. Упростим уравнение: \[ 0 = 0 \]

Ответ: -6

Решение №3828: Для решения уравнения \(\frac{2}{2^{x}+1}=\frac{2^{x}}{2^{x}+6}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \frac{2}{2^{x}+1}=\frac{2^{x}}{2^{x}+6} \]
2. Умножим обе части уравнения на \((2^x + 1)(2^x + 6)\) для избавления от знаменателей: \[ 2(2^x + 6) = 2^x(2^x + 1) \]
3. Раскроем скобки: \[ 2 \cdot 2^x + 2 \cdot 6 = 2^x \cdot 2^x + 2^x \cdot 1 \]
4. Упростим выражение: \[ 2 \cdot 2^x + 12 = (2^x)^2 + 2^x \]
5. Приведем подобные члены: \[ 2 \cdot 2^x + 12 = (2^x)^2 + 2^x \]
6. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ (2^x)^2 + 2^x - 2 \cdot 2^x - 12 = 0 \]
7. Упростим уравнение: \[ (2^x)^2 - 12 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение: \[ (2^x)^2 = 12 \]
9. Возьмем корень из обеих сторон: \[ 2^x = \pm \sqrt{12} \]
10. Поскольку \(2^x\) должно быть положительным, рассмотрим только положительный корень: \[ 2^x = \sqrt{12} \]
11. Упростим \(\sqrt{12}\): \[ \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]
12. Приравняем \(2^x\) к \(2\sqrt{3}\): \[ 2^x = 2\sqrt{3} \]
13. Разделим обе части на 2: \[ 2^{x-1} = \sqrt{3} \]
14. Возьмем логарифм обеих сторон для нахождения \(x\): \[ x-1 = \log_2(\sqrt{3}) \]
15. Выразим \(x\): \[ x = 1 + \log_2(\sqrt{3}) \]
16. Упростим \(\log_2(\sqrt{3})\): \[ \log_2(\sqrt{3}) = \frac{1}{2} \log_2(3) \]
17. Подставим обратно: \[ x = 1 + \frac{1}{2} \log_2(3) \]
18. Таким образом, решение уравнения \(\frac{2}{2^{x}+1}=\frac{2^{x}}{2^{x}+6}\) есть: \[ x = 1 + \frac{1}{2} \log_2(3) \]

Ответ: 2

Решение №3836: Для решения системы уравнений \[ \left\{ \begin{matrix} 3^{x} + 3^{y} = 36 \\ x + y = 5 \end{matrix} \right. \] выполним следующие шаги:

1. Запишем систему уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} 3^{x} + 3^{y} = 36 \\ x + y = 5 \end{matrix} \right. \]
2. Выразим \(y\) из второго уравнения: \[ y = 5 - x \]
3. Подставим \(y = 5 - x\) в первое уравнение: \[ 3^{x} + 3^{5-x} = 36 \]
4. Заметим, что \(3^5 = 243\), поэтому уравнение примет вид: \[ 3^{x} + \frac{243}{3^x} = 36 \]
5. Умножим обе части уравнения на \(3^x\), чтобы избавиться от дроби: \[ 3^{2x} + 243 = 36 \cdot 3^x \]
6. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 3^{2x} - 36 \cdot 3^x + 243 = 0 \]
7. Сделаем замену \(t = 3^x\), тогда уравнение примет вид: \[ t^2 - 36t + 243 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение \(t^2 - 36t + 243 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): \[ t = \frac{36 \pm \sqrt{36^2 - 4 \cdot 1 \cdot 243}}{2 \cdot 1} \] \[ t = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 972}}{2} \] \[ t = \frac{36 \pm \sqrt{324}}{2} \] \[ t = \frac{36 \pm 18}{2} \]
9. Получим два решения для \(t\): \[ t = \frac{54}{2} = 27 \quad \text{или} \quad t = \frac{18}{2} = 9 \]
10. Вернемся к замене \(t = 3^x\): \[ 3^x = 27 \quad \text{или} \quad 3^x = 9 \]
11. Решим уравнения \(3^x = 27\) и \(3^x = 9\): \[ x = 3 \quad \text{или} \quad x = 2 \]
12. Найдем соответствующие значения \(y\): \[ \text{Если } x = 3, \text{ то } y = 5 - 3 = 2 \] \[ \text{Если } x = 2, \text{ то } y = 5 - 2 = 3 \]

Ответ: {<2;3>;<3;2>}

Решение №3837: Для решения системы уравнений \[ \left\{ \begin{matrix} 3^{-x} \cdot 2^y = \frac{4}{9} \\ x + y = 4 \end{matrix} \right. \] выполним следующие шаги:

1. Запишем систему уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} 3^{-x} \cdot 2^y = \frac{4}{9} \quad \text{(1)} \\ x + y = 4 \quad \text{(2)} \end{matrix} \right. \]
2. Перепишем уравнение (1) в виде логарифмов: \[ \log(3^{-x} \cdot 2^y) = \log\left(\frac{4}{9}\right) \] Используем свойства логарифмов: \[ \log(3^{-x}) + \log(2^y) = \log(4) - \log(9) \] \[ -x \log(3) + y \log(2) = \log(4) - \log(9) \] Поскольку \(\log(4) = 2 \log(2)\) и \(\log(9) = 2 \log(3)\), получаем: \[ -x \log(3) + y \log(2) = 2 \log(2) - 2 \log(3) \]
3. Упростим уравнение: \[ -x \log(3) + y \log(2) = 2 \log(2) - 2 \log(3) \] Разделим обе части уравнения на \(\log(2)\): \[ -x \frac{\log(3)}{\log(2)} + y = 2 - 2 \frac{\log(3)}{\log(2)} \] Обозначим \(\frac{\log(3)}{\log(2)}\) как \(k\): \[ -x k + y = 2 - 2k \]
4. Теперь у нас есть система линейных уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} -x k + y = 2 - 2k \quad \text{(3)} \\ x + y = 4 \quad \text{(2)} \end{matrix} \right. \]
5. Выразим \(y\) из уравнения (2): \[ y = 4 - x \]
6. Подставим \(y = 4 - x\) в уравнение (3): \[ -x k + (4 - x) = 2 - 2k \] \[ -x k + 4 - x = 2 - 2k \] \[ -x k - x = 2 - 2k - 4 \] \[ -x (k + 1) = -2 (k + 1) \] Поскольку \(k + 1 \neq 0\), разделим обе части уравнения на \(-(k + 1)\): \[ x = 2 \]
7. Подставим \(x = 2\) в уравнение (2): \[ 2 + y = 4 \] \[ y = 2 \]
8. Таким образом, решение системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 2 \end{matrix} \right. \]

Ответ: {2;2}

Решение №3838: Для решения системы уравнений \[ \left\{ \begin{matrix} 2^x + 2^y = 12 \\ x + y = 5 \end{matrix} \right. \] выполним следующие шаги:

1. Запишем систему уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} 2^x + 2^y = 12 \\ x + y = 5 \end{matrix} \right. \]
2. Из второго уравнения \(x + y = 5\) выразим \(y\) через \(x\): \[ y = 5 - x \]
3. Подставим \(y = 5 - x\) в первое уравнение: \[ 2^x + 2^{5 - x} = 12 \]
4. Рассмотрим функцию \(f(x) = 2^x + 2^{5 - x}\) и найдем её значения для различных \(x\): \[ f(1) = 2^1 + 2^{5 - 1} = 2 + 16 = 18 \] \[ f(2) = 2^2 + 2^{5 - 2} = 4 + 8 = 12 \] \[ f(3) = 2^3 + 2^{5 - 3} = 8 + 4 = 12 \] \[ f(4) = 2^4 + 2^{5 - 4} = 16 + 2 = 18 \]
5. Заметим, что \(f(2) = 12\) и \(f(3) = 12\). Проверим, удовлетворяют ли эти значения второму уравнению: \[ \text{Для } x = 2: y = 5 - 2 = 3 \] \[ \text{Для } x = 3: y = 5 - 3 = 2 \]
6. Таким образом, решениями системы уравнений являются пары \((2, 3)\) и \((3, 2)\).

Ответ: {<2;3>;<3;2>}

Решение №3842: Для решения системы уравнений \(\left\{\begin{matrix} 5^{\frac{4}{x}-\frac{3}{y}}=5\\ x+3y=11 \end{matrix}\right.\) выполним следующие шаги:

1. Запишем систему уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} 5^{\frac{4}{x}-\frac{3}{y}}=5\\ x+3y=11 \end{matrix}\right. \]
2. Рассмотрим первое уравнение \(5^{\frac{4}{x}-\frac{3}{y}}=5\).
3. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ \frac{4}{x} - \frac{3}{y} = 1 \]
4. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} \frac{4}{x} - \frac{3}{y} = 1\\ x + 3y = 11 \end{matrix}\right. \]
5. Решим второе уравнение относительно \(x\): \[ x = 11 - 3y \]
6. Подставим выражение для \(x\) во второе уравнение системы: \[ \frac{4}{11 - 3y} - \frac{3}{y} = 1 \]
7. Умножим обе части уравнения на \(y(11 - 3y)\) для устранения знаменателей: \[ 4y - 3(11 - 3y) = y(11 - 3y) \]
8. Раскроем скобки и приведем подобные: \[ 4y - 33 + 9y = 11y - 3y^2 \] \[ 13y - 33 = 11y - 3y^2 \]
9. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 3y^2 + 2y - 33 = 0 \]
10. Решим квадратное уравнение относительно \(y\). Для этого найдем дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-33) = 4 + 396 = 400 \]
11. Найдем корни квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 20}{6} \] \[ y_1 = \frac{18}{6} = 3, \quad y_2 = \frac{-22}{6} = -\frac{11}{3} \]
12. Подставим найденные значения \(y\) во второе уравнение системы для нахождения \(x\): \[ \text{Для } y = 3: \quad x = 11 - 3 \cdot 3 = 11 - 9 = 2 \] \[ \text{Для } y = -\frac{11}{3}: \quad x = 11 - 3 \left(-\frac{11}{3}\right) = 11 + 11 = 22 \]
13. Таким образом, решениями системы являются пары \((x, y)\): \[ (x, y) = (2, 3) \quad \text{и} \quad (22, -\frac{11}{3}) \]
14. Из этих решений меньшее значение \(x\) равно 2.

Ответ: 2

Решение №3848: Для решения уравнения \(3 \cdot 2^{2x} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 3 \cdot 2^{2x} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0 \]
2. Заменим \(6^x\) на \(2^x \cdot 3^x\): \[ 3 \cdot 2^{2x} + 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0 \]
3. Вынесем общий множитель \(3^x\): \[ 3^x (3 \cdot 2^{2x} + 2^x - 2 \cdot 3^x) = 0 \]
4. Упростим выражение в скобках: \[ 3^x (3 \cdot 2^{2x} + 2^x - 2 \cdot 3^x) = 0 \]
5. Разделим уравнение на \(3^x\) (так как \(3^x \neq 0\)): \[ 3 \cdot 2^{2x} + 2^x - 2 \cdot 3^x = 0 \]
6. Заменим \(2^{2x}\) на \(4^x\): \[ 3 \cdot 4^x + 2^x - 2 \cdot 3^x = 0 \]
7. Заменим \(4^x\) на \(2^{2x}\): \[ 3 \cdot 2^{2x} + 2^x - 2 \cdot 3^x = 0 \]
8. Рассмотрим два случая: \(x = 0\) и \(x \neq 0\):
   1. Если \(x = 0\): \[ 3 \cdot 2^{2 \cdot 0} + 2^0 - 2 \cdot 3^0 = 3 \cdot 1 + 1 - 2 \cdot 1 = 3 + 1 - 2 = 2 \neq 0 \] Таким образом, \(x = 0\) не является решением.
   2. Если \(x \neq 0\), то разделим уравнение на \(2^x\): \[ 3 \cdot 2^x + 1 - 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x = 0 \]
9. Рассмотрим уравнение \(3 \cdot 2^x + 1 - 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x = 0\): \[ 3 \cdot 2^x + 1 = 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x \]
10. Упростим и решим уравнение: \[ 3 \cdot 2^x + 1 = 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x \] \[ 3 \cdot 2^x + 1 = 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x \]
11. Решим уравнение численно или графически: \[ x = 1 \]

Ответ: 1

Решение №3853: Для решения уравнения \(4^{x}+6^{x}=\frac{15}{4}\cdot 9^{x}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 4^{x} + 6^{x} = \frac{15}{4} \cdot 9^{x} \]
2. Выразим \(4^{x}\) и \(6^{x}\) через одно основание. Заметим, что \(4 = 2^2\) и \(6 = 2 \cdot 3\), а \(9 = 3^2\): \[ 4^{x} = (2^2)^x = 2^{2x} \] \[ 6^{x} = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x \] \[ 9^{x} = (3^2)^x = 3^{2x} \]
3. Подставим эти выражения в уравнение: \[ 2^{2x} + 2^x \cdot 3^x = \frac{15}{4} \cdot 3^{2x} \]
4. Разделим все члены уравнения на \(3^{2x}\): \[ \frac{2^{2x}}{3^{2x}} + \frac{2^x \cdot 3^x}{3^{2x}} = \frac{15}{4} \]
5. Упростим дроби: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} + \left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{15}{4} \]
6. Введем замену \(t = \left(\frac{2}{3}\right)^x\). Тогда уравнение принимает вид: \[ t^2 + t = \frac{15}{4} \]
7. Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения: \[ 4t^2 + 4t = 15 \] \[ 4t^2 + 4t - 15 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение \(4t^2 + 4t - 15 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 4\), \(b = 4\), \(c = -15\): \[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15)}}{2 \cdot 4} \] \[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 240}}{8} \] \[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{8} \] \[ t = \frac{-4 \pm 16}{8} \]
9. Найдем корни: \[ t = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \] \[ t = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} \]
10. Поскольку \(t = \left(\frac{2}{3}\right)^x\), а \(t\) должно быть положительным, отбросим отрицательное решение: \[ t = \frac{3}{2} \]
11. Решим уравнение \(\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{3}{2}\): \[ \left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \] \[ x = -1 \]

Ответ: -1

Решение №3855: Для решения уравнения \(2^{4x} - 7 \cdot 4^x \cdot 3^{x-1} + 4 \cdot 3^{2x-1} = 0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2^{4x} - 7 \cdot 4^x \cdot 3^{x-1} + 4 \cdot 3^{2x-1} = 0 \]
2. Представим \(4^x\) и \(3^{x-1}\) через степени двойки и тройки: \[ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \] \[ 3^{x-1} = \frac{3^x}{3} \]
3. Подставим эти выражения в уравнение: \[ 2^{4x} - 7 \cdot 2^{2x} \cdot \frac{3^x}{3} + 4 \cdot \frac{3^{2x}}{3} = 0 \]
4. Упростим выражение: \[ 2^{4x} - 7 \cdot 2^{2x} \cdot 3^{x-1} + 4 \cdot 3^{2x-1} = 0 \] \[ 2^{4x} - 7 \cdot 2^{2x} \cdot \frac{3^x}{3} + 4 \cdot \frac{3^{2x}}{3} = 0 \] \[ 2^{4x} - \frac{7 \cdot 2^{2x} \cdot 3^x}{3} + \frac{4 \cdot 3^{2x}}{3} = 0 \] \[ 2^{4x} - \frac{7 \cdot 2^{2x} \cdot 3^x}{3} + \frac{4 \cdot 3^{2x}}{3} = 0 \]
5. Умножим все члены уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателей: \[ 3 \cdot 2^{4x} - 7 \cdot 2^{2x} \cdot 3^x + 4 \cdot 3^{2x} = 0 \]
6. Представим уравнение в виде квадратного уравнения относительно \(y = 2^{2x}\): \[ y^2 - 7y \cdot 3^{x-1} + 4 \cdot 3^{2x-1} = 0 \]
7. Рассмотрим \(y = 2^{2x}\) и \(z = 3^{x-1}\), тогда уравнение принимает вид: \[ y^2 - 7yz + 4z^2 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение относительно \(y\): \[ y = \frac{7z \pm \sqrt{(7z)^2 - 4 \cdot 4z^2}}{2} \] \[ y = \frac{7z \pm \sqrt{49z^2 - 16z^2}}{2} \] \[ y = \frac{7z \pm \sqrt{33z^2}}{2} \] \[ y = \frac{7z \pm z\sqrt{33}}{2} \] \[ y = z \cdot \frac{7 \pm \sqrt{33}}{2} \]
9. Рассмотрим два случая для \(y\): \[ y = z \cdot \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \quad \text{или} \quad y = z \cdot \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \]
10. Подставим \(y = 2^{2x}\) и \(z = 3^{x-1}\) обратно: \[ 2^{2x} = 3^{x-1} \cdot \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \quad \text{или} \quad 2^{2x} = 3^{x-1} \cdot \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \]
11. Решим каждое из этих уравнений относительно \(x\): \[ 2^{2x} = 3^{x-1} \cdot \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \] \[ 2^{2x} = 3^{x-1} \cdot \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \]
12. Поскольку \(2^{2x}\) и \(3^{x-1}\) не могут быть равны, так как они имеют разные основания, уравнение \(2^{4x} - 7 \cdot 4^x \cdot 3^{x-1} + 4 \cdot 3^{2x-1} = 0\) не имеет решений.

Ответ: {0;1}

Решение №3858: Для решения уравнения \(81^{|x|} + 16^{|x|} = \frac{13}{6} \cdot 36^{|x|}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 81^{|x|} + 16^{|x|} = \frac{13}{6} \cdot 36^{|x|} \]
2. Представим числа 81, 16 и 36 в виде степеней с основаниями 3 и 2: \[ 81 = 3^4, \quad 16 = 2^4, \quad 36 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \]
3. Подставим эти выражения в уравнение: \[ (3^4)^{|x|} + (2^4)^{|x|} = \frac{13}{6} \cdot (2^2 \cdot 3^2)^{|x|} \]
4. Упростим степени: \[ 3^{4|x|} + 2^{4|x|} = \frac{13}{6} \cdot (2^2)^{|x|} \cdot (3^2)^{|x|} \]
5. Продолжим упрощение: \[ 3^{4|x|} + 2^{4|x|} = \frac{13}{6} \cdot 2^{2|x|} \cdot 3^{2|x|} \]
6. Вынесем общий множитель \(2^{2|x|} \cdot 3^{2|x|}\): \[ 3^{2|x|} \cdot 3^{2|x|} + 2^{2|x|} \cdot 2^{2|x|} = \frac{13}{6} \cdot 2^{2|x|} \cdot 3^{2|x|} \]
7. Упростим выражение: \[ 3^{4|x|} + 2^{4|x|} = \frac{13}{6} \cdot 2^{2|x|} \cdot 3^{2|x|} \]
8. Разделим обе части уравнения на \(2^{2|x|} \cdot 3^{2|x|}\): \[ \frac{3^{4|x|}}{2^{2|x|} \cdot 3^{2|x|}} + \frac{2^{4|x|}}{2^{2|x|} \cdot 3^{2|x|}} = \frac{13}{6} \]
9. Упростим дроби: \[ \frac{3^{2|x|}}{2^{2|x|}} + \frac{2^{2|x|}}{3^{2|x|}} = \frac{13}{6} \]
10. Перепишем уравнение: \[ \left(\frac{3}{2}\right)^{2|x|} + \left(\frac{2}{3}\right)^{2|x|} = \frac{13}{6} \]
11. Обозначим \(t = \left(\frac{3}{2}\right)^{2|x|}\): \[ t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6} \]
12. Умножим обе части уравнения на \(t\): \[ t^2 + 1 = \frac{13}{6}t \]
13. Перенесем все члены в одну сторону: \[ 6t^2 - 13t + 6 = 0 \]
14. Решим квадратное уравнение: \[ t = \frac{2}{3} \quad \text{или} \quad t = \frac{3}{2} \]
15. Вернемся к переменной \(x\): \[ \left(\frac{3}{2}\right)^{2|x|} = \frac{2}{3} \quad \text{или} \quad \left(\frac{3}{2}\right)^{2|x|} = \frac{3}{2} \]
16. Решим для \(x\): \[ 2|x| \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{3}{2}\right) = \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{2}{3}\right) \quad \text{или} \quad 2|x| \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{3}{2}\right) = \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{3}{2}\right) \]
17. Упростим логарифмы: \[ 2|x| = -1 \quad \text{или} \quad 2|x| = 1 \]
18. Решим для \(x\): \[ |x| = \frac{1}{2} \]
19. Таким образом, \(x = \pm \frac{1}{2}\).

Ответ: {-5,5}

Решение №3864: Для решения уравнения \(\left| 3x - 3 \right| + 3^{2x} - 3 = 0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \left| 3x - 3 \right| + 3^{2x} - 3 = 0 \]
2. Рассмотрим два случая для модуля \(\left| 3x - 3 \right|\):
   • Случай 1: \(3x - 3 \geq 0\)
   • Случай 2: \(3x - 3 < 0\)
3. Случай 1: \(3x - 3 \geq 0\)
   • Тогда \(\left| 3x - 3 \right| = 3x - 3\)
   • Подставим в уравнение: \[ 3x - 3 + 3^{2x} - 3 = 0 \]
   • Упростим уравнение: \[ 3x - 6 + 3^{2x} = 0 \]
   • Рассмотрим уравнение \(3x - 6 + 3^{2x} = 0\). Поскольку \(3^{2x} > 0\) для всех \(x\), то \(3x - 6\) должно быть отрицательным, что противоречит \(3x - 3 \geq 0\). Следовательно, в этом случае решений нет.
4. Случай 2: \(3x - 3 < 0\)
   • Тогда \(\left| 3x - 3 \right| = -(3x - 3) = -3x + 3\)
   • Подставим в уравнение: \[ -3x + 3 + 3^{2x} - 3 = 0 \]
   • Упростим уравнение: \[ -3x + 3^{2x} = 0 \]
   • Рассмотрим уравнение \(-3x + 3^{2x} = 0\). Поскольку \(3^{2x} > 0\) для всех \(x\), то \(-3x\) должно быть отрицательным, что соответствует \(3x - 3 < 0\).
   • Перепишем уравнение: \[ 3^{2x} = 3x \]
   • Рассмотрим возможные значения \(x\):
     • Если \(x = 0\), то \(3^{2 \cdot 0} = 3 \cdot 0\), что верно.
     • Если \(x = 1\), то \(3^{2 \cdot 1} = 3 \cdot 1\), что верно.
   • Таким образом, решениями уравнения являются \(x = 0\) и \(x = 1\).

Ответ: 0

Решение №3866: Для решения уравнения \((\sqrt{4-\sqrt{15}})^{x}+(\sqrt{4+\sqrt{15}})^{x}=8\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ (\sqrt{4-\sqrt{15}})^{x}+(\sqrt{4+\sqrt{15}})^{x}=8 \]
2. Представим выражения под корнями в виде произведения двух чисел: \[ \sqrt{4-\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{8+2\sqrt{15}}{2}}, \quad \sqrt{4+\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{8-2\sqrt{15}}{2}} \]
3. Произведем замену переменных: \[ \left(\frac{\sqrt{8+2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}\right)^{x}+\left(\frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}\right)^{x}=8 \]
4. Упростим выражения под корнями: \[ \sqrt{8+2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5}+1)^{2}}, \quad \sqrt{8-2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5}-1)^{2}} \]
5. Подставим упрощенные выражения: \[ \left(\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}\right)^{x}+\left(\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}\right)^{x}=8 \]
6. Вынесем общий множитель \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{x}\): \[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{x}((\sqrt{5}+1)^{x}+(\sqrt{5}-1)^{x})=8 \]
7. Представим выражение в виде произведения: \[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{x} \cdot 2 \cdot \left(\frac{(\sqrt{5}+1)^{x}+(\sqrt{5}-1)^{x}}{2}\right)=8 \]
8. Разделим обе части уравнения на 2: \[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{x} \cdot \left(\frac{(\sqrt{5}+1)^{x}+(\sqrt{5}-1)^{x}}{2}\right)=4 \]
9. Используем тождество для четных степеней: \[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{x} \cdot \left(\frac{(\sqrt{5}+1)^{x}-(\sqrt{5}-1)^{x}}{2}\right)=0 \]
10. Поскольку \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{x} \neq 0\), то: \[ \left(\frac{(\sqrt{5}+1)^{x}-(\sqrt{5}-1)^{x}}{2}\right)=0 \]
11. Решим уравнение: \[ (\sqrt{5}+1)^{x}-(\sqrt{5}-1)^{x}=0 \]
12. Разделим обе части уравнения на \((\sqrt{5}-1)^{x}\): \[ \left(\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}\right)^{x}=1 \]
13. Поскольку \(\left(\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}\right)^{x}=1\) при \(x=0\), получаем: \[ x=2 \]

Ответ: {-2,2}

Решение №7654: Для решения уравнения \(4^{x} - 3 \cdot 2^{x+2} = 64\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 4^{x} - 3 \cdot 2^{x+2} = 64 \]
2. Выразим \(2^{x+2}\) через \(2^x\): \[ 2^{x+2} = 2^2 \cdot 2^x = 4 \cdot 2^x \]
3. Подставим \(2^{x+2}\) в уравнение: \[ 4^{x} - 3 \cdot (4 \cdot 2^x) = 64 \]
4. Упростим выражение: \[ 4^{x} - 12 \cdot 2^x = 64 \]
5. Заметим, что \(4^x = (2^2)^x = 2^{2x}\). Подставим это в уравнение: \[ 2^{2x} - 12 \cdot 2^x = 64 \]
6. Введем замену \(y = 2^x\). Тогда уравнение примет вид: \[ y^2 - 12y - 64 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение \(y^2 - 12y - 64 = 0\):
   1. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400 \]
   2. Найдем корни уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{12 \pm 20}{2} \] \[ y_1 = \frac{12 + 20}{2} = 16, \quad y_2 = \frac{12 - 20}{2} = -4 \]
8. Поскольку \(y = 2^x\) и \(y\) должно быть положительным, отбросим отрицательный корень \(y_2 = -4\). Остается \(y_1 = 16\).
9. Вернемся к исходной замене \(y = 2^x\): \[ 2^x = 16 \]
10. Выразим \(x\): \[ 2^x = 2^4 \implies x = 4 \]

Ответ: 4

Решение №7658: Для решения уравнения \(4^{x}-10 \cdot 2^{x-1}-24=0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 4^{x} - 10 \cdot 2^{x-1} - 24 = 0 \]
2. Выразим \(4^x\) через \(2^x\): \[ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \]
3. Выразим \(2^{x-1}\) через \(2^x\): \[ 2^{x-1} = \frac{2^x}{2} \]
4. Подставим \(2^{2x}\) и \(\frac{2^x}{2}\) в уравнение: \[ 2^{2x} - 10 \cdot \frac{2^x}{2} - 24 = 0 \]
5. Упростим выражение: \[ 2^{2x} - 5 \cdot 2^x - 24 = 0 \]
6. Введем замену \(y = 2^x\). Тогда уравнение примет вид: \[ y^2 - 5y - 24 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение \(y^2 - 5y - 24 = 0\) методом дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 \] \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{5 \pm 11}{2} \]
8. Найдем корни уравнения: \[ y_1 = \frac{5 + 11}{2} = 8 \] \[ y_2 = \frac{5 - 11}{2} = -3 \]
9. Поскольку \(y = 2^x\) и \(2^x\) всегда положительно, отбросим отрицательное значение: \[ 2^x = 8 \]
10. Решим уравнение \(2^x = 8\): \[ 2^x = 2^3 \implies x = 3 \]

Ответ: 3

Решение №7659: Для решения уравнения \(25^{x}+24 \cdot 5^{x-1}-1=0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 25^{x} + 24 \cdot 5^{x-1} - 1 = 0 \]
2. Заметим, что \(25^x = (5^2)^x = 5^{2x}\), и перепишем уравнение: \[ 5^{2x} + 24 \cdot 5^{x-1} - 1 = 0 \]
3. Вынесем общий множитель \(5^{x-1}\) в первых двух слагаемых: \[ 5^{2x} + 24 \cdot 5^{x-1} = 5^{x-1} \cdot 5^{x+1} + 24 \cdot 5^{x-1} \]
4. Сгруппируем слагаемые: \[ 5^{x-1} \cdot (5^{x+1} + 24) = 1 \]
5. Упростим выражение в скобках: \[ 5^{x-1} \cdot (5^{x+1} + 24) = 1 \]
6. Разделим обе части уравнения на \(5^{x-1}\): \[ 5^{x+1} + 24 = 5^{1-x} \]
7. Заметим, что \(5^{x+1} + 24\) должно равняться \(5^{1-x}\). Решим уравнение \(5^{x+1} + 24 = 5^{1-x}\): \[ 5^{x+1} + 24 = 5^{1-x} \]
8. Предположим, что \(5^{x+1} = 5^{1-x}\). Тогда: \[ x + 1 = 1 - x \]
9. Решим уравнение: \[ 2x = 0 \implies x = 0 \]
10. Проверим решение, подставив \(x = 0\) в исходное уравнение: \[ 25^0 + 24 \cdot 5^{-1} - 1 = 1 + 24 \cdot \frac{1}{5} - 1 = 1 + \frac{24}{5} - 1 = \frac{24}{5} = 0 \]

Ответ: -1

Решение №7661: Для решения уравнения \(2^{-2x} + 2^x = 6\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2^{-2x} + 2^x = 6 \]
2. Пусть \(y = 2^x\). Тогда \(2^{-2x} = \frac{1}{(2^x)^2} = \frac{1}{y^2}\). Подставим \(y\) и \(\frac{1}{y^2}\) в уравнение: \[ \frac{1}{y^2} + y = 6 \]
3. Умножим все части уравнения на \(y^2\) для избавления от знаменателя: \[ 1 + y^3 = 6y^2 \]
4. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: \[ y^3 - 6y^2 + 1 = 0 \]
5. Попробуем найти рациональные корни уравнения. Проверим \(y = 1\): \[ 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 1 = 1 - 6 + 1 = -4 \neq 0 \] Проверим \(y = 2\): \[ 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 1 = 8 - 24 + 1 = -15 \neq 0 \]
6. Попробуем найти корни методом подстановки и проверки: Проверим \(y = 1\): \[ 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 1 = 1 - 6 + 1 = -4 \neq 0 \]
7. Рассмотрим уравнение \(y^3 - 6y^2 + 1 = 0\). Это кубическое уравнение, которое может быть решено численными методами или графически. Однако, для простоты, попробуем найти приближенное решение.
8. Попробуем \(y = 2\) (так как \(2^x = 2\) при \(x = 1\)): \[ 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 1 = 8 - 24 + 1 = -15 \neq 0 \]
9. Попробуем \(y = 3\) (так как \(2^x = 3\) при \(x = \log_2 3\)): \[ 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 1 = 27 - 54 + 1 = -26 \neq 0 \]
10. Попробуем \(y = 4\) (так как \(2^x = 4\) при \(x = 2\)): \[ 4^3 - 6 \cdot 4^2 + 1 = 64 - 96 + 1 = -31 \neq 0 \]
11. Попробуем \(y = 5\) (так как \(2^x = 5\) при \(x = \log_2 5\)): \[ 5^3 - 6 \cdot 5^2 + 1 = 125 - 150 + 1 = -24 \neq 0 \]
12. Попробуем \(y = 6\) (так как \(2^x = 6\) при \(x = \log_2 6\)): \[ 6^3 - 6 \cdot 6^2 + 1 = 216 - 216 + 1 = 1 \neq 0 \]
13. Попробуем \(y = 7\) (так как \(2^x = 7\) при \(x = \log_2 7\)): \[ 7^3 - 6 \cdot 7^2 + 1 = 343 - 294 + 1 = 50 \neq 0 \]
14. Попробуем \(y = 8\) (так как \(2^x = 8\) при \(x = 3\)): \[ 8^3 - 6 \cdot 8^2 + 1 = 512 - 384 + 1 = 129 \neq 0 \]
15. Попробуем \(y = 9\) (так как \(2^x = 9\) при \(x = \log_2 9\)): \[ 9^3 - 6 \cdot 9^2 + 1 = 729 - 486 + 1 = 244 \neq 0 \]
16. Попробуем \(y = 10\) (так как \(2^x = 10\) при \(x = \log_2 10\)): \[ 10^3 - 6 \cdot 10^2 + 1 = 1000 - 600 + 1 = 401 \neq 0 \]
17. Попробуем \(y = 11\) (так как \(2^x = 11\) при \(x = \log_2 11\)): \[ 11^3 - 6 \cdot 11^2 + 1 = 1331 - 726 + 1 = 606 \neq 0 \]
18. Попробуем \(y = 12\) (так как \(2^x = 12\) при \(x = \log_2 12\)): \[ 12^3 - 6 \cdot 12^2 + 1 = 1728 - 864 + 1 = 865 \neq 0 \]
19. Попробуем \(y = 13\) (так как \(2^x = 13\) при \(x = \log_2 13\)): \[ 13^3 - 6 \cdot 13^2 + 1 = 2197 - 1014 + 1 = 1184 \neq 0 \]
20. Попробуем \(y = 14\) (так как \(2^x = 14\) при \(x = \log_2 14\)): \[ 14^3 - 6 \cdot 14^2 + 1 = 2744 - 1176 + 1 = 1569 \neq 0 \]
21. Попробуем \(y = 15\) (так как \(2^x = 15\) при \(x = \log_2 15\)): \[ 15^3 - 6 \cdot 15^2 + 1 = 3375 - 1350 + 1 = 2026 \neq 0 \]
22. Попробуем \(y = 16\) (так как \(2^x = 16\) при \(x = 4\)): \[ 16^3 - 6 \cdot 16^2 + 1 = 4096 - 1536 + 1 = 2561 \neq 0 \]
23. Попробуем \(y = 17\) (так как \(2^x = 17\) при \(x = \log_2 17\)): \[ 17^3 - 6 \cdot 17^2 + 1 = 4913 - 1734 + 1 = 3180 \neq 0 \]
24. Попробуем \(y = 18\) (так как \(2^x = 18\) при \(x = \log_2 18\)): \[ 18^3 - 6 \cdot 18^2 + 1 = 5832 - 1944 + 1 = 3889 \neq 0 \]
25. Попробуем \(y = 19\) (так как \(2^x = 19\) при \(x = \log_2 19\)): \[ 19^3 - 6 \cdot 19^2 + 1 = 6859 - 2166 + 1 = 4794 \neq 0 \]
26. Попробуем \(y = 20\) (так как \(2^x = 20\) при \(x = \log_2 20\)): \[ 20^3 - 6 \cdot 20^2 + 1 = 8000 - 2400 + 1 = 5601 \neq 0 \]
27. Попробуем \(y = 21\) (так как \(2^x = 21\) при \(x = \log_2 21\)): \[ 21^3 - 6 \cdot 21^2 + 1 = 9261 - 2646 + 1 = 6616 \neq 0 \]
28. Попробуем \(y = 22\) (так как \(2^x = 22\) при \(x = \log_2 22\)): \[ 22^3 - 6 \cdot 22^2 + 1 = 10648 - 2904 + 1 = 7745 \neq 0 \]
29. Попробуем \(y = 23\) (так как \(2^x = 23\) при \(x = \log_2 23\)): \[ 23^3 - 6 \cdot 23^2 + 1 = 12167 - 3186 + 1 = 8982 \neq 0 \]
30. Попробуем \(y = 24\) (так как \(2^x = 24\) при \(x = \log_2 24\)): \[ 24^3 - 6 \cdot 24^2 + 1 = 13824 - 3456 + 1 = 10369 \neq 0 \]
31. Попробуем \(y = 25\) (так как \(2^x = 25\) при \(x = \log_2 25\)): \[ 25^3 - 6 \cdot 25^2 + 1 = 15625 - 3750 + 1 = 11876 \neq 0 \]
32. Попробуем \(y = 26\) (так как \(2^x = 26\) при \(x = \log_2 26\)): \[ 26^3 - 6 \cdot 26^2 + 1 = 17576 - 4056 + 1 = 13521 \neq 0 \]
33. Попробуем \(y = 27\) (так как \(2^x = 27\) при \(x = \log_2 27\)): \[ 27^3 - 6 \cdot 27^2 + 1 = 19683 - 4374 + 1 = 15310 \neq 0 \]
34. Попробуем \(y = 28\) (так как \(2^x = 28\) при \(x = \log_2 28\)): \[ 28^3 - 6 \cdot 28^2 + 1 = 21952 - 4704 + 1 = 17249 \neq 0 \]
35. Попробуем \(y = 29\) (так как \(2^x = 29\) при \(x = \log_2 29\)): \[ 29^3 - 6 \cdot 29^2 + 1 = 24389 - 5046 + 1 = 19344 \neq 0 \]
36. Попробуем \(y = 30\) (так как \(2^x = 30\) при \(x = \log_2 30\)): \[ 30^3 - 6 \cdot 30^2 + 1 = 27000 - 5400 + 1 = 21601 \neq 0 \]
37. Попробуем \(y = 31\) (так как \(2^x = 31\) при \(x = \log_2 31\)): \[ 31^3 - 6 \cdot 31^2 + 1 = 29791 - 5766 + 1 = 24026 \neq 0 \]
38. Попробуем \(y = 32\) (так как \(2^x = 32\) при \(x = 5\)): \[ 32^3 - 6 \cdot 32^2 + 1 = 32768 - 6144 + 1 = 26625 \neq 0 \]
39. Попробуем \(y = 33\) (так как \(2^x = 33\) при \(x = \log_2 33\)): \[ 33^3 - 6 \cdot 33^2 + 1 = 35937 - 6534 + 1 = 29404 \neq 0 \]
40. Попробуем \(y = 34\) (так как \(2^x = 34\) при \(x = \log_2 34\)): \[ 34^3 - 6 \cdot 34^2 + 1 = 39304 - 6804 + 1 = 32501 \neq 0 \]
41. Попробуем \(y = 35\) (так как \(2^x = 35\) при \(x = \log_2 35\)): \[ 35^3 - 6 \cdot 35^2 + 1 = 42875 - 7056 + 1 = 35820 \neq 0 \]
42. Попробуем \(y = 36\) (так как \(2^x = 36\) при \(x = \log_2 36\)): \[ 36^3 -

    Ответ: -1

Решение №7663: Для решения уравнения \(25^{\frac{1}{x}} + 1 = 6 \cdot 5^{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 25^{\frac{1}{x}} + 1 = 6 \cdot 5^{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}} \]
2. Представим число 25 в виде степени с основанием 5: \[ 25 = 5^2 \] Тогда: \[ 25^{\frac{1}{x}} = (5^2)^{\frac{1}{x}} = 5^{\frac{2}{x}} \]
3. Подставим \(5^{\frac{2}{x}}\) вместо \(25^{\frac{1}{x}}\) в уравнение: \[ 5^{\frac{2}{x}} + 1 = 6 \cdot 5^{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}} \]
4. Выразим \(5^{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}\) через \(5^{\frac{1}{x}}\): \[ 5^{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{x}} \cdot 5^{-\frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \]
5. Подставим \(5^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\) в уравнение: \[ 5^{\frac{2}{x}} + 1 = 6 \cdot \left(5^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\right) \]
6. Упростим выражение: \[ 5^{\frac{2}{x}} + 1 = \frac{6 \cdot 5^{\frac{1}{x}}}{\sqrt{5}} \]
7. Умножим обе части уравнения на \(\sqrt{5}\): \[ \sqrt{5} \cdot 5^{\frac{2}{x}} + \sqrt{5} = 6 \cdot 5^{\frac{1}{x}} \]
8. Заметим, что \(\sqrt{5} \cdot 5^{\frac{2}{x}} = 5^{\frac{2}{x} + \frac{1}{2}}\): \[ 5^{\frac{2}{x} + \frac{1}{2}} + \sqrt{5} = 6 \cdot 5^{\frac{1}{x}} \]
9. Сделаем замену \(t = 5^{\frac{1}{x}}\): \[ t^2 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} = 6t \]
10. Упростим выражение: \[ t^2 \cdot \sqrt{5} - 6t + \sqrt{5} = 0 \]
11. Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{5}\): \[ t^2 - \frac{6t}{\sqrt{5}} + 1 = 0 \]
12. Решим квадратное уравнение: \[ t^2 - \frac{6t}{\sqrt{5}} + 1 = 0 \] Для этого найдем дискриминант \(D\): \[ D = \left(\frac{6}{\sqrt{5}}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = \frac{36}{5} - 4 = \frac{36 - 20}{5} = \frac{16}{5} \]
13. Найдем корни уравнения: \[ t = \frac{\frac{6}{\sqrt{5}} \pm \sqrt{\frac{16}{5}}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{3 \pm 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
14. Упростим корни: \[ t_1 = \frac{3 + 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}, \quad t_2 = \frac{3 - 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
15. Вернемся к переменной \(x\): \[ 5^{\frac{1}{x}} = \frac{3 + 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \quad \text{или} \quad 5^{\frac{1}{x}} = \frac{3 - 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
16. Рассмотрим первый случай: \[ 5^{\frac{1}{x}} = \frac{3 + 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \] Это уравнение не имеет решений, так как левая часть всегда положительна, а правая часть может быть отрицательной.
17. Рассмотрим второй случай: \[ 5^{\frac{1}{x}} = \frac{3 - 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \] Это уравнение также не имеет решений по той же причине.

Ответ: -2

Решение №7667: Для решения уравнения \(5^{x} - 24 = \frac{25}{5^{x}}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 5^{x} - 24 = \frac{25}{5^{x}} \]
2. Умножим обе части уравнения на \(5^{x}\), чтобы избавиться от дроби: \[ 5^{x} \cdot 5^{x} - 24 \cdot 5^{x} = 25 \]
3. Упростим левую часть уравнения, используя свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \[ (5^{x})^2 - 24 \cdot 5^{x} = 25 \] \[ 5^{2x} - 24 \cdot 5^{x} = 25 \]
4. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: \[ 5^{2x} - 24 \cdot 5^{x} - 25 = 0 \]
5. Сделаем замену \(y = 5^{x}\), чтобы получить квадратное уравнение: \[ y^2 - 24y - 25 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение \(y^2 - 24y - 25 = 0\) с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -24\), \(c = -25\): \[ y = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25)}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 100}}{2} \] \[ y = \frac{24 \pm \sqrt{676}}{2} \] \[ y = \frac{24 \pm 26}{2} \]
7. Найдем два корня уравнения: \[ y_1 = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25 \] \[ y_2 = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
8. Подставим обратно \(y = 5^{x}\): \[ 5^{x} = 25 \quad \text{или} \quad 5^{x} = -1 \]
9. Решим уравнения: \[ 5^{x} = 25 \implies x = 2 \quad \text{(поскольку \(5^2 = 25\))} \] \[ 5^{x} = -1 \quad \text{(не имеет решений, так как \(5^{x}\) всегда положительно)} \]
10. Таким образом, единственное решение уравнения: \[ x = 2 \]

Ответ: 2

Решение №7676: Решим уравнение \(3^{x+1}+\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x}-\sqrt{9^{x-2}}-\frac{1}{\sqrt{9^{3-x}}}=258\) пошагово.

1. Запишем уравнение: \[ 3^{x+1}+\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x}-\sqrt{9^{x-2}}-\frac{1}{\sqrt{9^{3-x}}}=258 \]
2. Представим \(\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x}\) в виде степени с основанием 3: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{1-x} = 3^{x-1} \]
3. Представим \(\sqrt{9^{x-2}}\) в виде степени с основанием 3: \[ \sqrt{9^{x-2}} = 3^{x-2} \]
4. Представим \(\frac{1}{\sqrt{9^{3-x}}}\) в виде степени с основанием 3: \[ \frac{1}{\sqrt{9^{3-x}}} = 3^{x-3} \]
5. Подставим все выражения в уравнение: \[ 3^{x+1} + 3^{x-1} - 3^{x-2} - 3^{x-3} = 258 \]
6. Вынесем общий множитель \(3^{x-3}\): \[ 3^{x-3}(3^4 + 3^2 - 3^1 - 1) = 258 \]
7. Упростим выражение в скобках: \[ 3^4 = 81, \quad 3^2 = 9, \quad 3^1 = 3 \] \[ 81 + 9 - 3 - 1 = 86 \] \[ 3^{x-3} \cdot 86 = 258 \]
8. Разделим обе части уравнения на 86: \[ 3^{x-3} = 3 \]
9. Решим уравнение \(3^{x-3} = 3\): Поскольку \(3^1 = 3\), получаем: \[ x - 3 = 1 \]
10. Решим уравнение \(x - 3 = 1\): \[ x = 4 \]

Ответ: 4

Решение №7677: Для решения уравнения \(2^{12x-1} - 4^{6x-1} + 8^{4x-1} - 16^{3x-1} = 1280\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2^{12x-1} - 4^{6x-1} + 8^{4x-1} - 16^{3x-1} = 1280 \]
2. Представим все степени в виде степеней с основанием 2: \[ 4 = 2^2, \quad 8 = 2^3, \quad 16 = 2^4 \]
3. Подставим эти значения в уравнение: \[ 2^{12x-1} - (2^2)^{6x-1} + (2^3)^{4x-1} - (2^4)^{3x-1} = 1280 \]
4. Упростим степени: \[ 2^{12x-1} - 2^{2(6x-1)} + 2^{3(4x-1)} - 2^{4(3x-1)} = 1280 \] \[ 2^{12x-1} - 2^{12x-2} + 2^{12x-3} - 2^{12x-4} = 1280 \]
5. Вынесем общий множитель \(2^{12x-4}\): \[ 2^{12x-4} \left( 2^3 - 2^2 + 2^1 - 1 \right) = 1280 \]
6. Упростим выражение в скобках: \[ 2^{12x-4} \left( 8 - 4 + 2 - 1 \right) = 1280 \] \[ 2^{12x-4} \cdot 5 = 1280 \]
7. Разделим обе части уравнения на 5: \[ 2^{12x-4} = \frac{1280}{5} \] \[ 2^{12x-4} = 256 \]
8. Представим 256 в виде степени с основанием 2: \[ 256 = 2^8 \]
9. Подставим \(2^8\) вместо 256 в уравнение: \[ 2^{12x-4} = 2^8 \]
10. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ 12x - 4 = 8 \]
11. Решим уравнение: \[ 12x - 4 = 8 \] \[ 12x = 12 \] \[ x = 1 \]

Ответ: 1

Решение №7682: Для решения уравнения \(4^{-x+\frac{1}{2}} - 7 \cdot 2^{-x} - 4 = 0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 4^{-x+\frac{1}{2}} - 7 \cdot 2^{-x} - 4 = 0 \]
2. Представим \(4^{-x+\frac{1}{2}}\) через степень с основанием 2: \[ 4^{-x+\frac{1}{2}} = (2^2)^{-x+\frac{1}{2}} = 2^{-2x+1} \]
3. Подставим \(2^{-2x+1}\) в уравнение: \[ 2^{-2x+1} - 7 \cdot 2^{-x} - 4 = 0 \]
4. Введем замену \(y = 2^{-x}\). Тогда уравнение примет вид: \[ 2y - 7y - 4 = 0 \]
5. Упростим уравнение: \[ -5y - 4 = 0 \]
6. Решим уравнение относительно \(y\): \[ -5y = 4 \] \[ y = -\frac{4}{5} \]
7. Вернемся к исходной переменной \(x\): \[ 2^{-x} = -\frac{4}{5} \]
8. Примем логарифм от обеих частей уравнения: \[ \log_2(2^{-x}) = \log_2\left(-\frac{4}{5}\right) \]
9. Учитывая, что \(\log_2(2^{-x}) = -x\), получим: \[ -x = \log_2\left(-\frac{4}{5}\right) \]
10. Поскольку логарифм от отрицательного числа не определен, заключаем, что уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: -2

Решение №7683: Для решения уравнения \(3 \cdot 9^{x^2+1} - 5 \cdot 3^{x^2+2} + 18 = 0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 3 \cdot 9^{x^2+1} - 5 \cdot 3^{x^2+2} + 18 = 0 \]
2. Представим \(9\) в виде степени с основанием 3: \[ 9 = 3^2 \]
3. Подставим \(3^2\) вместо 9 в уравнение: \[ 3 \cdot (3^2)^{x^2+1} - 5 \cdot 3^{x^2+2} + 18 = 0 \]
4. Упростим выражение \((3^2)^{x^2+1}\): \[ (3^2)^{x^2+1} = 3^{2(x^2+1)} = 3^{2x^2+2} \]
5. Подставим упрощенное выражение в уравнение: \[ 3 \cdot 3^{2x^2+2} - 5 \cdot 3^{x^2+2} + 18 = 0 \]
6. Упростим выражение: \[ 3^{2x^2+3} - 5 \cdot 3^{x^2+2} + 18 = 0 \]
7. Вынесем общий множитель \(3^{x^2+2}\): \[ 3^{x^2+2} (3^{x^2+1} - 5) + 18 = 0 \]
8. Упростим выражение в скобках: \[ 3^{x^2+2} (3^{x^2+1} - 5) = -18 \]
9. Разделим обе части уравнения на \(3^{x^2+2}\): \[ 3^{x^2+1} - 5 = -18 / 3^{x^2+2} \]
10. Решим уравнение \(3^{x^2+1} - 5 = -18 / 3^{x^2+2}\): \[ 3^{x^2+1} - 5 = -18 / 3^{x^2+2} \]
11. Умножим обе части уравнения на \(3^{x^2+2}\): \[ 3^{x^2+1} \cdot 3^{x^2+2} - 5 \cdot 3^{x^2+2} = -18 \]
12. Упростим выражение: \[ 3^{2x^2+3} - 5 \cdot 3^{x^2+2} = -18 \]
13. Подставим \(3^{x^2+2}\) вместо \(3^{2x^2+3}\): \[ 3^{x^2+2} - 5 \cdot 3^{x^2+2} = -18 \]
14. Упростим выражение: \[ 3^{x^2+2} (1 - 5) = -18 \]
15. Решим уравнение \(3^{x^2+2} \cdot (-4) = -18\): \[ 3^{x^2+2} = \frac{-18}{-4} = 4.5 \]
16. Решим уравнение \(3^{x^2+2} = 4.5\): Поскольку \(3^0 = 1\) и \(3^1 = 3\), \(3^{x^2+2} = 4.5\) не имеет решения в целых числах.

Ответ: 0

Решение №7687: Для решения уравнения \((\sqrt[5]{3})^{x+5} + (\sqrt[10]{3})^{x-5} = 84\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ (\sqrt[5]{3})^{x+5} + (\sqrt[10]{3})^{x-5} = 84 \]
2. Выразим \(\sqrt[5]{3}\) и \(\sqrt[10]{3}\) через степени числа 3: \[ \sqrt[5]{3} = 3^{1/5}, \quad \sqrt[10]{3} = 3^{1/10} \]
3. Подставим эти выражения в уравнение: \[ (3^{1/5})^{x+5} + (3^{1/10})^{x-5} = 84 \]
4. Упростим степени: \[ 3^{\frac{x+5}{5}} + 3^{\frac{x-5}{10}} = 84 \]
5. Заметим, что \(3^{\frac{x+5}{5}} = 3^{\frac{2(x+5)}{10}} = 3^{\frac{2x+10}{10}}\): \[ 3^{\frac{2x+10}{10}} + 3^{\frac{x-5}{10}} = 84 \]
6. Выразим оба члена через одно основание: \[ 3^{\frac{2x+10}{10}} + 3^{\frac{x-5}{10}} = 84 \]
7. Вынесем общий множитель \(3^{\frac{x-5}{10}}\): \[ 3^{\frac{x-5}{10}} \left(3^{\frac{2x+10}{10} - \frac{x-5}{10}} + 1\right) = 84 \]
8. Упростим показатель степени в скобках: \[ 3^{\frac{x-5}{10}} \left(3^{\frac{2x+10 - (x-5)}{10}} + 1\right) = 84 \] \[ 3^{\frac{x-5}{10}} \left(3^{\frac{x+15}{10}} + 1\right) = 84 \]
9. Упростим выражение: \[ 3^{\frac{x-5}{10}} \left(3^{1.5} + 1\right) = 84 \] Поскольку \(3^{1.5} = 3\sqrt{3}\), то: \[ 3^{\frac{x-5}{10}} \left(3\sqrt{3} + 1\right) = 84 \]
10. Разделим обе части уравнения на \((3\sqrt{3} + 1)\): \[ 3^{\frac{x-5}{10}} = \frac{84}{3\sqrt{3} + 1} \]
11. Упростим правую часть: \[ 3^{\frac{x-5}{10}} = 3^2 \]
12. Приравняем показатели степеней: \[ \frac{x-5}{10} = 2 \]
13. Решим уравнение: \[ x - 5 = 20 \] \[ x = 25 \]

Ответ: 15