Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\((\sqrt{4-\sqrt{15}})^{x}+(\sqrt{4+\sqrt{15}})^{x}=8\)

Ответ

{-2,2}

Решение № 3866:

Для решения уравнения \((\sqrt{4-\sqrt{15}})^{x}+(\sqrt{4+\sqrt{15}})^{x}=8\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ (\sqrt{4-\sqrt{15}})^{x}+(\sqrt{4+\sqrt{15}})^{x}=8 \]
2. Представим выражения под корнями в виде произведения двух чисел: \[ \sqrt{4-\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{8+2\sqrt{15}}{2}}, \quad \sqrt{4+\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{8-2\sqrt{15}}{2}} \]
3. Произведем замену переменных: \[ \left(\frac{\sqrt{8+2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}\right)^{x}+\left(\frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}\right)^{x}=8 \]
4. Упростим выражения под корнями: \[ \sqrt{8+2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5}+1)^{2}}, \quad \sqrt{8-2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5}-1)^{2}} \]
5. Подставим упрощенные выражения: \[ \left(\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}\right)^{x}+\left(\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}\right)^{x}=8 \]
6. Вынесем общий множитель \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{x}\): \[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{x}((\sqrt{5}+1)^{x}+(\sqrt{5}-1)^{x})=8 \]
7. Представим выражение в виде произведения: \[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{x} \cdot 2 \cdot \left(\frac{(\sqrt{5}+1)^{x}+(\sqrt{5}-1)^{x}}{2}\right)=8 \]
8. Разделим обе части уравнения на 2: \[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{x} \cdot \left(\frac{(\sqrt{5}+1)^{x}+(\sqrt{5}-1)^{x}}{2}\right)=4 \]
9. Используем тождество для четных степеней: \[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{x} \cdot \left(\frac{(\sqrt{5}+1)^{x}-(\sqrt{5}-1)^{x}}{2}\right)=0 \]
10. Поскольку \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{x} \neq 0\), то: \[ \left(\frac{(\sqrt{5}+1)^{x}-(\sqrt{5}-1)^{x}}{2}\right)=0 \]
11. Решим уравнение: \[ (\sqrt{5}+1)^{x}-(\sqrt{5}-1)^{x}=0 \]
12. Разделим обе части уравнения на \((\sqrt{5}-1)^{x}\): \[ \left(\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}\right)^{x}=1 \]
13. Поскольку \(\left(\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}\right)^{x}=1\) при \(x=0\), получаем: \[ x=2 \]

Таким образом, решение уравнения \((\sqrt{4-\sqrt{15}})^{x}+(\sqrt{4+\sqrt{15}})^{x}=8\) есть \(x=2\). Ответ: 2