Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(4^{x}-10\cdot 2^{x-1}-24=0\)

Ответ

3

Решение № 7658:

Для решения уравнения \(4^{x}-10 \cdot 2^{x-1}-24=0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 4^{x} - 10 \cdot 2^{x-1} - 24 = 0 \]
2. Выразим \(4^x\) через \(2^x\): \[ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \]
3. Выразим \(2^{x-1}\) через \(2^x\): \[ 2^{x-1} = \frac{2^x}{2} \]
4. Подставим \(2^{2x}\) и \(\frac{2^x}{2}\) в уравнение: \[ 2^{2x} - 10 \cdot \frac{2^x}{2} - 24 = 0 \]
5. Упростим выражение: \[ 2^{2x} - 5 \cdot 2^x - 24 = 0 \]
6. Введем замену \(y = 2^x\). Тогда уравнение примет вид: \[ y^2 - 5y - 24 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение \(y^2 - 5y - 24 = 0\) методом дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 \] \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{5 \pm 11}{2} \]
8. Найдем корни уравнения: \[ y_1 = \frac{5 + 11}{2} = 8 \] \[ y_2 = \frac{5 - 11}{2} = -3 \]
9. Поскольку \(y = 2^x\) и \(2^x\) всегда положительно, отбросим отрицательное значение: \[ 2^x = 8 \]
10. Решим уравнение \(2^x = 8\): \[ 2^x = 2^3 \implies x = 3 \]

Таким образом, решение уравнения \(4^{x}-10 \cdot 2^{x-1}-24=0\) есть \(x = 3\). Ответ: 3