Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите систему уравнений\(\left\{\begin{matrix}
3^{x}+3^{y}=36\\x+y=5
\end{matrix}\right.\)
Ответ
{<2;3>;<3;2>}
Решение № 3836:
Для решения системы уравнений
\[
\left\{
\begin{matrix}
3^{x} + 3^{y} = 36 \\
x + y = 5
\end{matrix}
\right.
\]
выполним следующие шаги:
- Запишем систему уравнений:
\[
\left\{
\begin{matrix}
3^{x} + 3^{y} = 36 \\
x + y = 5
\end{matrix}
\right.
\]
- Выразим \(y\) из второго уравнения:
\[
y = 5 - x
\]
- Подставим \(y = 5 - x\) в первое уравнение:
\[
3^{x} + 3^{5-x} = 36
\]
- Заметим, что \(3^5 = 243\), поэтому уравнение примет вид:
\[
3^{x} + \frac{243}{3^x} = 36
\]
- Умножим обе части уравнения на \(3^x\), чтобы избавиться от дроби:
\[
3^{2x} + 243 = 36 \cdot 3^x
\]
- Перенесем все члены в одну сторону уравнения:
\[
3^{2x} - 36 \cdot 3^x + 243 = 0
\]
- Сделаем замену \(t = 3^x\), тогда уравнение примет вид:
\[
t^2 - 36t + 243 = 0
\]
- Решим квадратное уравнение \(t^2 - 36t + 243 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):
\[
t = \frac{36 \pm \sqrt{36^2 - 4 \cdot 1 \cdot 243}}{2 \cdot 1}
\]
\[
t = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 972}}{2}
\]
\[
t = \frac{36 \pm \sqrt{324}}{2}
\]
\[
t = \frac{36 \pm 18}{2}
\]
- Получим два решения для \(t\):
\[
t = \frac{54}{2} = 27 \quad \text{или} \quad t = \frac{18}{2} = 9
\]
- Вернемся к замене \(t = 3^x\):
\[
3^x = 27 \quad \text{или} \quad 3^x = 9
\]
- Решим уравнения \(3^x = 27\) и \(3^x = 9\):
\[
x = 3 \quad \text{или} \quad x = 2
\]
- Найдем соответствующие значения \(y\):
\[
\text{Если } x = 3, \text{ то } y = 5 - 3 = 2
\]
\[
\text{Если } x = 2, \text{ то } y = 5 - 2 = 3
\]
Таким образом, решениями системы уравнений являются пары \((x, y)\):
\[
(x, y) = (3, 2) \quad \text{и} \quad (x, y) = (2, 3)
\]
Ответ: \((3, 2)\) и \((2, 3)\)