Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(4^{x}+6^{x}=\frac{15}{4}\cdot 9^{x}\)

Ответ

-1

Решение № 3853:

Для решения уравнения \(4^{x}+6^{x}=\frac{15}{4}\cdot 9^{x}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 4^{x} + 6^{x} = \frac{15}{4} \cdot 9^{x} \]
2. Выразим \(4^{x}\) и \(6^{x}\) через одно основание. Заметим, что \(4 = 2^2\) и \(6 = 2 \cdot 3\), а \(9 = 3^2\): \[ 4^{x} = (2^2)^x = 2^{2x} \] \[ 6^{x} = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x \] \[ 9^{x} = (3^2)^x = 3^{2x} \]
3. Подставим эти выражения в уравнение: \[ 2^{2x} + 2^x \cdot 3^x = \frac{15}{4} \cdot 3^{2x} \]
4. Разделим все члены уравнения на \(3^{2x}\): \[ \frac{2^{2x}}{3^{2x}} + \frac{2^x \cdot 3^x}{3^{2x}} = \frac{15}{4} \]
5. Упростим дроби: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} + \left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{15}{4} \]
6. Введем замену \(t = \left(\frac{2}{3}\right)^x\). Тогда уравнение принимает вид: \[ t^2 + t = \frac{15}{4} \]
7. Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения: \[ 4t^2 + 4t = 15 \] \[ 4t^2 + 4t - 15 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение \(4t^2 + 4t - 15 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 4\), \(b = 4\), \(c = -15\): \[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15)}}{2 \cdot 4} \] \[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 240}}{8} \] \[ t = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{8} \] \[ t = \frac{-4 \pm 16}{8} \]
9. Найдем корни: \[ t = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \] \[ t = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} \]
10. Поскольку \(t = \left(\frac{2}{3}\right)^x\), а \(t\) должно быть положительным, отбросим отрицательное решение: \[ t = \frac{3}{2} \]
11. Решим уравнение \(\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{3}{2}\): \[ \left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \] \[ x = -1 \]

Таким образом, решение уравнения \(4^{x}+6^{x}=\frac{15}{4}\cdot 9^{x}\) есть \(x = -1\). Ответ: -1