Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите систему уравнений\(\left\{\begin{matrix} 2^{x}+2^{y}=12\\ x+y=5 \end{matrix}\right.\)

Ответ

{<2;3>;<3;2>}

Решение № 3838:

Для решения системы уравнений \[ \left\{ \begin{matrix} 2^x + 2^y = 12 \\ x + y = 5 \end{matrix} \right. \] выполним следующие шаги:

1. Запишем систему уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} 2^x + 2^y = 12 \\ x + y = 5 \end{matrix} \right. \]
2. Из второго уравнения \(x + y = 5\) выразим \(y\) через \(x\): \[ y = 5 - x \]
3. Подставим \(y = 5 - x\) в первое уравнение: \[ 2^x + 2^{5 - x} = 12 \]
4. Рассмотрим функцию \(f(x) = 2^x + 2^{5 - x}\) и найдем её значения для различных \(x\): \[ f(1) = 2^1 + 2^{5 - 1} = 2 + 16 = 18 \] \[ f(2) = 2^2 + 2^{5 - 2} = 4 + 8 = 12 \] \[ f(3) = 2^3 + 2^{5 - 3} = 8 + 4 = 12 \] \[ f(4) = 2^4 + 2^{5 - 4} = 16 + 2 = 18 \]
5. Заметим, что \(f(2) = 12\) и \(f(3) = 12\). Проверим, удовлетворяют ли эти значения второму уравнению: \[ \text{Для } x = 2: y = 5 - 2 = 3 \] \[ \text{Для } x = 3: y = 5 - 3 = 2 \]
6. Таким образом, решениями системы уравнений являются пары \((2, 3)\) и \((3, 2)\).

Ответ: \((2, 3)\) и \((3, 2)\).