Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение:\((\sqrt[3]{2})^{x+6}=(\sqrt[3]{17})^{x+6}\)
Ответ
-6
Решение № 3827:
Для решения уравнения \((\sqrt[3]{2})^{x+6} = (\sqrt[3]{17})^{x+6}\) выполним следующие шаги:
- Запишем уравнение:
\[
(\sqrt[3]{2})^{x+6} = (\sqrt[3]{17})^{x+6}
\]
- Представим кубические корни в виде степеней:
\[
\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}, \quad \sqrt[3]{17} = 17^{\frac{1}{3}}
\]
- Подставим эти выражения в уравнение:
\[
(2^{\frac{1}{3}})^{x+6} = (17^{\frac{1}{3}})^{x+6}
\]
- Используем свойство степеней \((a^m)^n = a^{mn}\):
\[
2^{\frac{1}{3}(x+6)} = 17^{\frac{1}{3}(x+6)}
\]
- Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней:
\[
\frac{1}{3}(x+6) = \frac{1}{3}(x+6)
\]
- Умножим обе части уравнения на 3:
\[
x + 6 = x + 6
\]
- Упростим уравнение:
\[
0 = 0
\]
Уравнение \(0 = 0\) является тождеством, что означает, что исходное уравнение \((\sqrt[3]{2})^{x+6} = (\sqrt[3]{17})^{x+6}\) выполняется для любого \(x\).
Таким образом, решение уравнения \((\sqrt[3]{2})^{x+6} = (\sqrt[3]{17})^{x+6}\) есть \(x \in \mathbb{R}\).
Ответ: \(x \in \mathbb{R}\)