Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(5^{x+1}+5^{-x}=6\)

Ответ

{-1;0}

Решение № 3792:

Для решения уравнения \(5^{x+1} + 5^{-x} = 6\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 5^{x+1} + 5^{-x} = 6 \]
2. Выразим \(5^{x+1}\) через \(5^x\): \[ 5^{x+1} = 5 \cdot 5^x \]
3. Подставим \(5^{x+1}\) в уравнение: \[ 5 \cdot 5^x + 5^{-x} = 6 \]
4. Введем новую переменную \(y = 5^x\). Тогда \(5^{-x} = \frac{1}{y}\). Подставим эти выражения в уравнение: \[ 5y + \frac{1}{y} = 6 \]
5. Умножим обе части уравнения на \(y\), чтобы избавиться от дроби: \[ 5y^2 + 1 = 6y \]
6. Перенесем все члены уравнения на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ 5y^2 - 6y + 1 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение \(5y^2 - 6y + 1 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 5\), \(b = -6\), и \(c = 1\): \[ y = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{10} = \frac{6 \pm 4}{10} \]
8. Найдем значения \(y\): \[ y_1 = \frac{6 + 4}{10} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{6 - 4}{10} = 0.2 \]
9. Вернемся к переменной \(x\). Поскольку \(y = 5^x\), то: \[ 5^x = 1 \quad \text{и} \quad 5^x = 0.2 \]
10. Решим уравнения: \[ 5^x = 1 \implies x = 0 \] \[ 5^x = 0.2 \implies x = \log_5 0.2 \]

Таким образом, решение уравнения \(5^{x+1} + 5^{-x} = 6\) есть \(x = 0\) и \(x = \log_5 0.2\). Ответ: \(x = 0\) и \(x = \log_5 0.2\).