Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(4^{x+3}-(0,25)^{x+1}=15\)

Ответ

-1

Решение № 3825:

Для решения уравнения \(4^{x+3} - (0.25)^{x+1} = 15\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 4^{x+3} - (0.25)^{x+1} = 15 \]
2. Выразим \(4^{x+3}\) и \((0.25)^{x+1}\) через более простые степени: \[ 4^{x+3} = 4^x \cdot 4^3 = 4^x \cdot 64 \] \[ (0.25)^{x+1} = (0.25)^x \cdot 0.25 = \left(\frac{1}{4}\right)^x \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4^x} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4^{x+1}} \]
3. Подставим выражения в уравнение: \[ 4^x \cdot 64 - \frac{1}{4^{x+1}} = 15 \]
4. Умножим обе части уравнения на \(4^{x+1}\) для избавления от знаменателя: \[ 4^x \cdot 64 \cdot 4^{x+1} - 1 = 15 \cdot 4^{x+1} \] \[ 4^x \cdot 4^3 \cdot 4^{x+1} - 1 = 15 \cdot 4^{x+1} \] \[ 4^{2x+4} - 1 = 15 \cdot 4^{x+1} \]
5. Упростим уравнение: \[ 4^{2x+4} - 1 = 15 \cdot 4^{x+1} \] \[ 4^{2x+4} - 1 = 15 \cdot 4^x \cdot 4 \] \[ 4^{2x+4} - 1 = 60 \cdot 4^x \]
6. Перенесем все члены в одну сторону: \[ 4^{2x+4} - 60 \cdot 4^x - 1 = 0 \]
7. Попробуем решить уравнение методом подбора или графическим методом. Однако, в данном случае, мы можем попробовать угадать решение: \[ \text{Попробуем } x = 0: \] \[ 4^{2 \cdot 0 + 4} - 60 \cdot 4^0 - 1 = 4^4 - 60 - 1 = 256 - 60 - 1 = 195 \neq 0 \] \[ \text{Попробуем } x = -1: \] \[ 4^{2 \cdot (-1) + 4} - 60 \cdot 4^{-1} - 1 = 4^2 - 60 \cdot \frac{1}{4} - 1 = 16 - 15 - 1 = 0 \] \[ \text{Решение найдено: } x = -1 \]

Таким образом, решение уравнения \(4^{x+3} - (0.25)^{x+1} = 15\) есть \(x = -1\). Ответ: -1