Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(4^{-x+\frac{1}{2}}-7\cdot 2^{-x}-4=0\)

Ответ

-2

Решение № 7682:

Для решения уравнения \(4^{-x+\frac{1}{2}} - 7 \cdot 2^{-x} - 4 = 0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 4^{-x+\frac{1}{2}} - 7 \cdot 2^{-x} - 4 = 0 \]
2. Представим \(4^{-x+\frac{1}{2}}\) через степень с основанием 2: \[ 4^{-x+\frac{1}{2}} = (2^2)^{-x+\frac{1}{2}} = 2^{-2x+1} \]
3. Подставим \(2^{-2x+1}\) в уравнение: \[ 2^{-2x+1} - 7 \cdot 2^{-x} - 4 = 0 \]
4. Введем замену \(y = 2^{-x}\). Тогда уравнение примет вид: \[ 2y - 7y - 4 = 0 \]
5. Упростим уравнение: \[ -5y - 4 = 0 \]
6. Решим уравнение относительно \(y\): \[ -5y = 4 \] \[ y = -\frac{4}{5} \]
7. Вернемся к исходной переменной \(x\): \[ 2^{-x} = -\frac{4}{5} \]
8. Примем логарифм от обеих частей уравнения: \[ \log_2(2^{-x}) = \log_2\left(-\frac{4}{5}\right) \]
9. Учитывая, что \(\log_2(2^{-x}) = -x\), получим: \[ -x = \log_2\left(-\frac{4}{5}\right) \]
10. Поскольку логарифм от отрицательного числа не определен, заключаем, что уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: Уравнение не имеет решений в действительных числах.