Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение:\(3^{x+1}+\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x}-\sqrt{9^{x-2}}-\frac{1}{\sqrt{9^{3-x}}}=258\)
Ответ
4
Решение № 7676:
Решим уравнение \(3^{x+1}+\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x}-\sqrt{9^{x-2}}-\frac{1}{\sqrt{9^{3-x}}}=258\) пошагово.
- Запишем уравнение:
\[
3^{x+1}+\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x}-\sqrt{9^{x-2}}-\frac{1}{\sqrt{9^{3-x}}}=258
\]
- Представим \(\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x}\) в виде степени с основанием 3:
\[
\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x} = 3^{x-1}
\]
- Представим \(\sqrt{9^{x-2}}\) в виде степени с основанием 3:
\[
\sqrt{9^{x-2}} = 3^{x-2}
\]
- Представим \(\frac{1}{\sqrt{9^{3-x}}}\) в виде степени с основанием 3:
\[
\frac{1}{\sqrt{9^{3-x}}} = 3^{x-3}
\]
- Подставим все выражения в уравнение:
\[
3^{x+1} + 3^{x-1} - 3^{x-2} - 3^{x-3} = 258
\]
- Вынесем общий множитель \(3^{x-3}\):
\[
3^{x-3}(3^4 + 3^2 - 3^1 - 1) = 258
\]
- Упростим выражение в скобках:
\[
3^4 = 81, \quad 3^2 = 9, \quad 3^1 = 3
\]
\[
81 + 9 - 3 - 1 = 86
\]
\[
3^{x-3} \cdot 86 = 258
\]
- Разделим обе части уравнения на 86:
\[
3^{x-3} = 3
\]
- Решим уравнение \(3^{x-3} = 3\):
Поскольку \(3^1 = 3\), получаем:
\[
x - 3 = 1
\]
- Решим уравнение \(x - 3 = 1\):
\[
x = 4
\]
Таким образом, решение уравнения \(3^{x+1}+\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x}-\sqrt{9^{x-2}}-\frac{1}{\sqrt{9^{3-x}}}=258\) есть \(x = 4\).
Ответ: 4