Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\((\sqrt[5]{3})^{x+5}+(\sqrt[10]{3})^{x-5}=84\)

Ответ

15

Решение № 7687:

Для решения уравнения \((\sqrt[5]{3})^{x+5} + (\sqrt[10]{3})^{x-5} = 84\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ (\sqrt[5]{3})^{x+5} + (\sqrt[10]{3})^{x-5} = 84 \]
2. Выразим \(\sqrt[5]{3}\) и \(\sqrt[10]{3}\) через степени числа 3: \[ \sqrt[5]{3} = 3^{1/5}, \quad \sqrt[10]{3} = 3^{1/10} \]
3. Подставим эти выражения в уравнение: \[ (3^{1/5})^{x+5} + (3^{1/10})^{x-5} = 84 \]
4. Упростим степени: \[ 3^{\frac{x+5}{5}} + 3^{\frac{x-5}{10}} = 84 \]
5. Заметим, что \(3^{\frac{x+5}{5}} = 3^{\frac{2(x+5)}{10}} = 3^{\frac{2x+10}{10}}\): \[ 3^{\frac{2x+10}{10}} + 3^{\frac{x-5}{10}} = 84 \]
6. Выразим оба члена через одно основание: \[ 3^{\frac{2x+10}{10}} + 3^{\frac{x-5}{10}} = 84 \]
7. Вынесем общий множитель \(3^{\frac{x-5}{10}}\): \[ 3^{\frac{x-5}{10}} \left(3^{\frac{2x+10}{10} - \frac{x-5}{10}} + 1\right) = 84 \]
8. Упростим показатель степени в скобках: \[ 3^{\frac{x-5}{10}} \left(3^{\frac{2x+10 - (x-5)}{10}} + 1\right) = 84 \] \[ 3^{\frac{x-5}{10}} \left(3^{\frac{x+15}{10}} + 1\right) = 84 \]
9. Упростим выражение: \[ 3^{\frac{x-5}{10}} \left(3^{1.5} + 1\right) = 84 \] Поскольку \(3^{1.5} = 3\sqrt{3}\), то: \[ 3^{\frac{x-5}{10}} \left(3\sqrt{3} + 1\right) = 84 \]
10. Разделим обе части уравнения на \((3\sqrt{3} + 1)\): \[ 3^{\frac{x-5}{10}} = \frac{84}{3\sqrt{3} + 1} \]
11. Упростим правую часть: \[ 3^{\frac{x-5}{10}} = 3^2 \]
12. Приравняем показатели степеней: \[ \frac{x-5}{10} = 2 \]
13. Решим уравнение: \[ x - 5 = 20 \] \[ x = 25 \]

Таким образом, решение уравнения \((\sqrt[5]{3})^{x+5} + (\sqrt[10]{3})^{x-5} = 84\) есть \(x = 25\). Ответ: 25