Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите систему уравнений\(\left\{\begin{matrix} 5^{\frac{4}{x}-\frac{3}{y}}=5\\ x+3y=11 \end{matrix}\right.\). В ответе запишите меньшее значение \(x\)

Ответ

2

Решение № 3842:

Для решения системы уравнений \(\left\{\begin{matrix} 5^{\frac{4}{x}-\frac{3}{y}}=5\\ x+3y=11 \end{matrix}\right.\) выполним следующие шаги:

1. Запишем систему уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} 5^{\frac{4}{x}-\frac{3}{y}}=5\\ x+3y=11 \end{matrix}\right. \]
2. Рассмотрим первое уравнение \(5^{\frac{4}{x}-\frac{3}{y}}=5\).
3. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ \frac{4}{x} - \frac{3}{y} = 1 \]
4. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \left\{\begin{matrix} \frac{4}{x} - \frac{3}{y} = 1\\ x + 3y = 11 \end{matrix}\right. \]
5. Решим второе уравнение относительно \(x\): \[ x = 11 - 3y \]
6. Подставим выражение для \(x\) во второе уравнение системы: \[ \frac{4}{11 - 3y} - \frac{3}{y} = 1 \]
7. Умножим обе части уравнения на \(y(11 - 3y)\) для устранения знаменателей: \[ 4y - 3(11 - 3y) = y(11 - 3y) \]
8. Раскроем скобки и приведем подобные: \[ 4y - 33 + 9y = 11y - 3y^2 \] \[ 13y - 33 = 11y - 3y^2 \]
9. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 3y^2 + 2y - 33 = 0 \]
10. Решим квадратное уравнение относительно \(y\). Для этого найдем дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-33) = 4 + 396 = 400 \]
11. Найдем корни квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 20}{6} \] \[ y_1 = \frac{18}{6} = 3, \quad y_2 = \frac{-22}{6} = -\frac{11}{3} \]
12. Подставим найденные значения \(y\) во второе уравнение системы для нахождения \(x\): \[ \text{Для } y = 3: \quad x = 11 - 3 \cdot 3 = 11 - 9 = 2 \] \[ \text{Для } y = -\frac{11}{3}: \quad x = 11 - 3 \left(-\frac{11}{3}\right) = 11 + 11 = 22 \]
13. Таким образом, решениями системы являются пары \((x, y)\): \[ (x, y) = (2, 3) \quad \text{и} \quad (22, -\frac{11}{3}) \]
14. Из этих решений меньшее значение \(x\) равно 2.

Ответ: 2