Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(2^{x+1}-11+\frac{15}{2^{x}+1}=0\)

Ответ

{-1;2]

Решение № 3816:

Для решения уравнения \(2^{x+1} - 11 + \frac{15}{2^x + 1} = 0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2^{x+1} - 11 + \frac{15}{2^x + 1} = 0 \]
2. Выразим \(2^{x+1}\) через \(2^x\): \[ 2^{x+1} = 2 \cdot 2^x \]
3. Подставим \(2^{x+1}\) в уравнение: \[ 2 \cdot 2^x - 11 + \frac{15}{2^x + 1} = 0 \]
4. Введем замену \(2^x = t\), тогда \(2^{x+1} = 2t\): \[ 2t - 11 + \frac{15}{t + 1} = 0 \]
5. Умножим обе части уравнения на \(t + 1\) для избавления от знаменателя: \[ (2t - 11)(t + 1) + 15 = 0 \]
6. Раскроем скобки: \[ 2t^2 + 2t - 11t - 11 + 15 = 0 \]
7. Упростим выражение: \[ 2t^2 - 9t + 4 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение \(2t^2 - 9t + 4 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): \[ a = 2, \quad b = -9, \quad c = 4 \] \[ t = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2} \] \[ t = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{4} \] \[ t = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{4} \] \[ t = \frac{9 \pm 7}{4} \] \[ t_1 = \frac{16}{4} = 4, \quad t_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
9. Вернемся к исходной переменной \(x\): \[ 2^x = 4 \quad \text{или} \quad 2^x = \frac{1}{2} \]
10. Решим уравнения: \[ 2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2 \] \[ 2^x = \frac{1}{2} \implies 2^x = 2^{-1} \implies x = -1 \]

Таким образом, решение уравнения \(2^{x+1} - 11 + \frac{15}{2^x + 1} = 0\) есть \(x = 2\) или \(x = -1\). Ответ: \(x = 2\) или \(x = -1\)