Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите систему уравнений\(\left\{\begin{matrix}
3^{-x}\cdot 2^{y}=\frac{4}{9}\\
x+y=4
\end{matrix}\right.\)
Ответ
{2;2}
Решение № 3837:
Для решения системы уравнений
\[
\left\{
\begin{matrix}
3^{-x} \cdot 2^y = \frac{4}{9} \\
x + y = 4
\end{matrix}
\right.
\]
выполним следующие шаги:
- Запишем систему уравнений:
\[
\left\{
\begin{matrix}
3^{-x} \cdot 2^y = \frac{4}{9} \quad \text{(1)} \\
x + y = 4 \quad \text{(2)}
\end{matrix}
\right.
\]
- Перепишем уравнение (1) в виде логарифмов:
\[
\log(3^{-x} \cdot 2^y) = \log\left(\frac{4}{9}\right)
\]
Используем свойства логарифмов:
\[
\log(3^{-x}) + \log(2^y) = \log(4) - \log(9)
\]
\[
-x \log(3) + y \log(2) = \log(4) - \log(9)
\]
Поскольку \(\log(4) = 2 \log(2)\) и \(\log(9) = 2 \log(3)\), получаем:
\[
-x \log(3) + y \log(2) = 2 \log(2) - 2 \log(3)
\]
- Упростим уравнение:
\[
-x \log(3) + y \log(2) = 2 \log(2) - 2 \log(3)
\]
Разделим обе части уравнения на \(\log(2)\):
\[
-x \frac{\log(3)}{\log(2)} + y = 2 - 2 \frac{\log(3)}{\log(2)}
\]
Обозначим \(\frac{\log(3)}{\log(2)}\) как \(k\):
\[
-x k + y = 2 - 2k
\]
- Теперь у нас есть система линейных уравнений:
\[
\left\{
\begin{matrix}
-x k + y = 2 - 2k \quad \text{(3)} \\
x + y = 4 \quad \text{(2)}
\end{matrix}
\right.
\]
- Выразим \(y\) из уравнения (2):
\[
y = 4 - x
\]
- Подставим \(y = 4 - x\) в уравнение (3):
\[
-x k + (4 - x) = 2 - 2k
\]
\[
-x k + 4 - x = 2 - 2k
\]
\[
-x k - x = 2 - 2k - 4
\]
\[
-x (k + 1) = -2 (k + 1)
\]
Поскольку \(k + 1 \neq 0\), разделим обе части уравнения на \(-(k + 1)\):
\[
x = 2
\]
- Подставим \(x = 2\) в уравнение (2):
\[
2 + y = 4
\]
\[
y = 2
\]
- Таким образом, решение системы уравнений:
\[
\left\{
\begin{matrix}
x = 2 \\
y = 2
\end{matrix}
\right.
\]
Ответ: \(x = 2\), \(y = 2\).