Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(4^{x}-3\cdot 2^{x+2}=64\)

Ответ

4

Решение № 7654:

Для решения уравнения \(4^{x} - 3 \cdot 2^{x+2} = 64\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 4^{x} - 3 \cdot 2^{x+2} = 64 \]
2. Выразим \(2^{x+2}\) через \(2^x\): \[ 2^{x+2} = 2^2 \cdot 2^x = 4 \cdot 2^x \]
3. Подставим \(2^{x+2}\) в уравнение: \[ 4^{x} - 3 \cdot (4 \cdot 2^x) = 64 \]
4. Упростим выражение: \[ 4^{x} - 12 \cdot 2^x = 64 \]
5. Заметим, что \(4^x = (2^2)^x = 2^{2x}\). Подставим это в уравнение: \[ 2^{2x} - 12 \cdot 2^x = 64 \]
6. Введем замену \(y = 2^x\). Тогда уравнение примет вид: \[ y^2 - 12y - 64 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение \(y^2 - 12y - 64 = 0\):
   1. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400 \]
   2. Найдем корни уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{12 \pm 20}{2} \] \[ y_1 = \frac{12 + 20}{2} = 16, \quad y_2 = \frac{12 - 20}{2} = -4 \]
8. Поскольку \(y = 2^x\) и \(y\) должно быть положительным, отбросим отрицательный корень \(y_2 = -4\). Остается \(y_1 = 16\).
9. Вернемся к исходной замене \(y = 2^x\): \[ 2^x = 16 \]
10. Выразим \(x\): \[ 2^x = 2^4 \implies x = 4 \]

Таким образом, решение уравнения \(4^{x} - 3 \cdot 2^{x+2} = 64\) есть \(x = 4\). Ответ: 4