Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(\frac{2}{2^{x}+1}=\frac{2^{x}}{2^{x}+6}\)

Ответ

2

Решение № 3828:

Для решения уравнения \(\frac{2}{2^{x}+1}=\frac{2^{x}}{2^{x}+6}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \frac{2}{2^{x}+1}=\frac{2^{x}}{2^{x}+6} \]
2. Умножим обе части уравнения на \((2^x + 1)(2^x + 6)\) для избавления от знаменателей: \[ 2(2^x + 6) = 2^x(2^x + 1) \]
3. Раскроем скобки: \[ 2 \cdot 2^x + 2 \cdot 6 = 2^x \cdot 2^x + 2^x \cdot 1 \]
4. Упростим выражение: \[ 2 \cdot 2^x + 12 = (2^x)^2 + 2^x \]
5. Приведем подобные члены: \[ 2 \cdot 2^x + 12 = (2^x)^2 + 2^x \]
6. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ (2^x)^2 + 2^x - 2 \cdot 2^x - 12 = 0 \]
7. Упростим уравнение: \[ (2^x)^2 - 12 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение: \[ (2^x)^2 = 12 \]
9. Возьмем корень из обеих сторон: \[ 2^x = \pm \sqrt{12} \]
10. Поскольку \(2^x\) должно быть положительным, рассмотрим только положительный корень: \[ 2^x = \sqrt{12} \]
11. Упростим \(\sqrt{12}\): \[ \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]
12. Приравняем \(2^x\) к \(2\sqrt{3}\): \[ 2^x = 2\sqrt{3} \]
13. Разделим обе части на 2: \[ 2^{x-1} = \sqrt{3} \]
14. Возьмем логарифм обеих сторон для нахождения \(x\): \[ x-1 = \log_2(\sqrt{3}) \]
15. Выразим \(x\): \[ x = 1 + \log_2(\sqrt{3}) \]
16. Упростим \(\log_2(\sqrt{3})\): \[ \log_2(\sqrt{3}) = \frac{1}{2} \log_2(3) \]
17. Подставим обратно: \[ x = 1 + \frac{1}{2} \log_2(3) \]
18. Таким образом, решение уравнения \(\frac{2}{2^{x}+1}=\frac{2^{x}}{2^{x}+6}\) есть: \[ x = 1 + \frac{1}{2} \log_2(3) \]

Ответ: \(x = 1 + \frac{1}{2} \log_2(3)\)