Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(6^{x}-35=\frac{36}{6^{x}}\)

Ответ

2

Решение № 3795:

Для решения уравнения \(6^{x} - 35 = \frac{36}{6^{x}}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 6^{x} - 35 = \frac{36}{6^{x}} \]
2. Умножим обе части уравнения на \(6^{x}\), чтобы избавиться от дроби: \[ 6^{x} \cdot 6^{x} - 35 \cdot 6^{x} = 36 \]
3. Упростим левую часть уравнения: \[ (6^{x})^2 - 35 \cdot 6^{x} = 36 \]
4. Перепишем уравнение: \[ 6^{2x} - 35 \cdot 6^{x} - 36 = 0 \]
5. Введем новую переменную \(y = 6^{x}\). Тогда уравнение примет вид: \[ y^2 - 35y - 36 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение \(y^2 - 35y - 36 = 0\). Для этого найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 1225 + 144 = 1369 \]
7. Найдем корни уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 \pm \sqrt{1369}}{2} \]
8. Упростим выражение под корнем: \[ \sqrt{1369} = 37 \]
9. Подставим значение корня и найдем корни уравнения: \[ y = \frac{35 \pm 37}{2} \]
10. Получим два значения для \(y\): \[ y_1 = \frac{35 + 37}{2} = 36 \] \[ y_2 = \frac{35 - 37}{2} = -1 \]
11. Вернемся к исходной переменной \(x\). Поскольку \(y = 6^{x}\), получим: \[ 6^{x} = 36 \quad \text{или} \quad 6^{x} = -1 \]
12. Поскольку \(6^{x} = -1\) не имеет решений, рассмотрим \(6^{x} = 36\): \[ 6^{x} = 6^2 \]
13. Приравняем показатели степеней: \[ x = 2 \]

Таким образом, решение уравнения \(6^{x} - 35 = \frac{36}{6^{x}}\) есть \(x = 2\). Ответ: 2