Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите меньший корень уравнения\(25^{\frac{1}{x}}+1=6\cdot 5^{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}\)

Ответ

-2

Решение № 7663:

Для решения уравнения \(25^{\frac{1}{x}} + 1 = 6 \cdot 5^{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 25^{\frac{1}{x}} + 1 = 6 \cdot 5^{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}} \]
2. Представим число 25 в виде степени с основанием 5: \[ 25 = 5^2 \] Тогда: \[ 25^{\frac{1}{x}} = (5^2)^{\frac{1}{x}} = 5^{\frac{2}{x}} \]
3. Подставим \(5^{\frac{2}{x}}\) вместо \(25^{\frac{1}{x}}\) в уравнение: \[ 5^{\frac{2}{x}} + 1 = 6 \cdot 5^{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}} \]
4. Выразим \(5^{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}\) через \(5^{\frac{1}{x}}\): \[ 5^{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{x}} \cdot 5^{-\frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \]
5. Подставим \(5^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\) в уравнение: \[ 5^{\frac{2}{x}} + 1 = 6 \cdot \left(5^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\right) \]
6. Упростим выражение: \[ 5^{\frac{2}{x}} + 1 = \frac{6 \cdot 5^{\frac{1}{x}}}{\sqrt{5}} \]
7. Умножим обе части уравнения на \(\sqrt{5}\): \[ \sqrt{5} \cdot 5^{\frac{2}{x}} + \sqrt{5} = 6 \cdot 5^{\frac{1}{x}} \]
8. Заметим, что \(\sqrt{5} \cdot 5^{\frac{2}{x}} = 5^{\frac{2}{x} + \frac{1}{2}}\): \[ 5^{\frac{2}{x} + \frac{1}{2}} + \sqrt{5} = 6 \cdot 5^{\frac{1}{x}} \]
9. Сделаем замену \(t = 5^{\frac{1}{x}}\): \[ t^2 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} = 6t \]
10. Упростим выражение: \[ t^2 \cdot \sqrt{5} - 6t + \sqrt{5} = 0 \]
11. Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{5}\): \[ t^2 - \frac{6t}{\sqrt{5}} + 1 = 0 \]
12. Решим квадратное уравнение: \[ t^2 - \frac{6t}{\sqrt{5}} + 1 = 0 \] Для этого найдем дискриминант \(D\): \[ D = \left(\frac{6}{\sqrt{5}}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = \frac{36}{5} - 4 = \frac{36 - 20}{5} = \frac{16}{5} \]
13. Найдем корни уравнения: \[ t = \frac{\frac{6}{\sqrt{5}} \pm \sqrt{\frac{16}{5}}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{3 \pm 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
14. Упростим корни: \[ t_1 = \frac{3 + 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}, \quad t_2 = \frac{3 - 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
15. Вернемся к переменной \(x\): \[ 5^{\frac{1}{x}} = \frac{3 + 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \quad \text{или} \quad 5^{\frac{1}{x}} = \frac{3 - 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
16. Рассмотрим первый случай: \[ 5^{\frac{1}{x}} = \frac{3 + 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \] Это уравнение не имеет решений, так как левая часть всегда положительна, а правая часть может быть отрицательной.
17. Рассмотрим второй случай: \[ 5^{\frac{1}{x}} = \frac{3 - 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \] Это уравнение также не имеет решений по той же причине.

Таким образом, уравнение \(25^{\frac{1}{x}} + 1 = 6 \cdot 5^{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}\) не имеет решений. Ответ: решений нет.