Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(16^{x}-5\cdot 4^{x}+4=0\)

Ответ

{0;1}

Решение № 3787:

Для решения уравнения \(16^{x} - 5 \cdot 4^{x} + 4 = 0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 16^{x} - 5 \cdot 4^{x} + 4 = 0 \]
2. Представим \(16^x\) и \(4^x\) через степени с основанием 2: \[ 16^x = (2^4)^x = (2^x)^4 \quad \text{и} \quad 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \]
3. Подставим выражения в уравнение: \[ (2^x)^4 - 5 \cdot (2^x)^2 + 4 = 0 \]
4. Введем новую переменную \(y = 2^x\), тогда уравнение примет вид: \[ y^4 - 5y^2 + 4 = 0 \]
5. Сделаем замену \(z = y^2\), тогда уравнение станет квадратным: \[ z^2 - 5z + 4 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение \(z^2 - 5z + 4 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения \(z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): \[ z = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \]
7. Найдем корни уравнения: \[ z_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \]
8. Вернемся к переменной \(y\): \[ y^2 = 4 \quad \text{или} \quad y^2 = 1 \]
9. Найдем значения \(y\): \[ y = 2 \quad \text{или} \quad y = -2 \quad \text{и} \quad y = 1 \quad \text{или} \quad y = -1 \]
10. Вернемся к переменной \(x\): \[ 2^x = 2 \quad \text{или} \quad 2^x = 1 \]
11. Решим уравнения: \[ 2^x = 2 \implies x = 1 \quad \text{и} \quad 2^x = 1 \implies x = 0 \]

Таким образом, решение уравнения \(16^{x} - 5 \cdot 4^{x} + 4 = 0\) есть \(x = 0\) и \(x = 1\). Ответ: 0 и 1