Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение:\(2^{4x}-7\cdot 4^{x}\cdot 3^{x-1}+4\cdot 3^{2x-1}=0\)
Ответ
{0;1}
Решение № 3855:
Для решения уравнения \(2^{4x} - 7 \cdot 4^x \cdot 3^{x-1} + 4 \cdot 3^{2x-1} = 0\) выполним следующие шаги:
- Запишем уравнение:
\[
2^{4x} - 7 \cdot 4^x \cdot 3^{x-1} + 4 \cdot 3^{2x-1} = 0
\]
- Представим \(4^x\) и \(3^{x-1}\) через степени двойки и тройки:
\[
4^x = (2^2)^x = 2^{2x}
\]
\[
3^{x-1} = \frac{3^x}{3}
\]
- Подставим эти выражения в уравнение:
\[
2^{4x} - 7 \cdot 2^{2x} \cdot \frac{3^x}{3} + 4 \cdot \frac{3^{2x}}{3} = 0
\]
- Упростим выражение:
\[
2^{4x} - 7 \cdot 2^{2x} \cdot 3^{x-1} + 4 \cdot 3^{2x-1} = 0
\]
\[
2^{4x} - 7 \cdot 2^{2x} \cdot \frac{3^x}{3} + 4 \cdot \frac{3^{2x}}{3} = 0
\]
\[
2^{4x} - \frac{7 \cdot 2^{2x} \cdot 3^x}{3} + \frac{4 \cdot 3^{2x}}{3} = 0
\]
\[
2^{4x} - \frac{7 \cdot 2^{2x} \cdot 3^x}{3} + \frac{4 \cdot 3^{2x}}{3} = 0
\]
- Умножим все члены уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателей:
\[
3 \cdot 2^{4x} - 7 \cdot 2^{2x} \cdot 3^x + 4 \cdot 3^{2x} = 0
\]
- Представим уравнение в виде квадратного уравнения относительно \(y = 2^{2x}\):
\[
y^2 - 7y \cdot 3^{x-1} + 4 \cdot 3^{2x-1} = 0
\]
- Рассмотрим \(y = 2^{2x}\) и \(z = 3^{x-1}\), тогда уравнение принимает вид:
\[
y^2 - 7yz + 4z^2 = 0
\]
- Решим квадратное уравнение относительно \(y\):
\[
y = \frac{7z \pm \sqrt{(7z)^2 - 4 \cdot 4z^2}}{2}
\]
\[
y = \frac{7z \pm \sqrt{49z^2 - 16z^2}}{2}
\]
\[
y = \frac{7z \pm \sqrt{33z^2}}{2}
\]
\[
y = \frac{7z \pm z\sqrt{33}}{2}
\]
\[
y = z \cdot \frac{7 \pm \sqrt{33}}{2}
\]
- Рассмотрим два случая для \(y\):
\[
y = z \cdot \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \quad \text{или} \quad y = z \cdot \frac{7 - \sqrt{33}}{2}
\]
- Подставим \(y = 2^{2x}\) и \(z = 3^{x-1}\) обратно:
\[
2^{2x} = 3^{x-1} \cdot \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \quad \text{или} \quad 2^{2x} = 3^{x-1} \cdot \frac{7 - \sqrt{33}}{2}
\]
- Решим каждое из этих уравнений относительно \(x\):
\[
2^{2x} = 3^{x-1} \cdot \frac{7 + \sqrt{33}}{2}
\]
\[
2^{2x} = 3^{x-1} \cdot \frac{7 - \sqrt{33}}{2}
\]
- Поскольку \(2^{2x}\) и \(3^{x-1}\) не могут быть равны, так как они имеют разные основания, уравнение \(2^{4x} - 7 \cdot 4^x \cdot 3^{x-1} + 4 \cdot 3^{2x-1} = 0\) не имеет решений.
Таким образом, уравнение \(2^{4x} - 7 \cdot 4^x \cdot 3^{x-1} + 4 \cdot 3^{2x-1} = 0\) не имеет решений.
Ответ: нет решений.