Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(5^{\sqrt{x}}-5^{3-\sqrt{x}}=20\)

Ответ

4

Решение № 3823:

Для решения уравнения \(5^{\sqrt{x}} - 5^{3 - \sqrt{x}} = 20\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 5^{\sqrt{x}} - 5^{3 - \sqrt{x}} = 20 \]
2. Введем новую переменную \(y = \sqrt{x}\). Тогда уравнение примет вид: \[ 5^y - 5^{3 - y} = 20 \]
3. Пусть \(a = 5^y\). Тогда \(5^{3 - y} = \frac{5^3}{5^y} = \frac{125}{a}\). Подставим это в уравнение: \[ a - \frac{125}{a} = 20 \]
4. Умножим обе части уравнения на \(a\), чтобы избавиться от знаменателя: \[ a^2 - 125 = 20a \]
5. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: \[ a^2 - 20a - 125 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение \(a^2 - 20a - 125 = 0\) с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -20\), и \(c = -125\). Подставим эти значения: \[ a = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 500}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{20 \pm 30}{2} \]
7. Найдем два корня: \[ a = \frac{20 + 30}{2} = 25 \quad \text{и} \quad a = \frac{20 - 30}{2} = -5 \]
8. Так как \(a = 5^y\), то \(5^y = 25\) (положительное значение, так как \(5^y\) не может быть отрицательным). Решим уравнение: \[ 5^y = 25 \]
9. Поскольку \(25 = 5^2\), то: \[ y = 2 \]
10. Вернемся к исходной переменной \(x\): \[ \sqrt{x} = 2 \implies x = 2^2 = 4 \]

Таким образом, решение уравнения \(5^{\sqrt{x}} - 5^{3 - \sqrt{x}} = 20\) есть \(x = 4\). Ответ: 4