Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(2^{-2x}+2^{x}=6\)

Ответ

-1

Решение № 7661:

Для решения уравнения \(2^{-2x} + 2^x = 6\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2^{-2x} + 2^x = 6 \]
2. Пусть \(y = 2^x\). Тогда \(2^{-2x} = \frac{1}{(2^x)^2} = \frac{1}{y^2}\). Подставим \(y\) и \(\frac{1}{y^2}\) в уравнение: \[ \frac{1}{y^2} + y = 6 \]
3. Умножим все части уравнения на \(y^2\) для избавления от знаменателя: \[ 1 + y^3 = 6y^2 \]
4. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: \[ y^3 - 6y^2 + 1 = 0 \]
5. Попробуем найти рациональные корни уравнения. Проверим \(y = 1\): \[ 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 1 = 1 - 6 + 1 = -4 \neq 0 \] Проверим \(y = 2\): \[ 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 1 = 8 - 24 + 1 = -15 \neq 0 \]
6. Попробуем найти корни методом подстановки и проверки: Проверим \(y = 1\): \[ 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 1 = 1 - 6 + 1 = -4 \neq 0 \]
7. Рассмотрим уравнение \(y^3 - 6y^2 + 1 = 0\). Это кубическое уравнение, которое может быть решено численными методами или графически. Однако, для простоты, попробуем найти приближенное решение.
8. Попробуем \(y = 2\) (так как \(2^x = 2\) при \(x = 1\)): \[ 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 1 = 8 - 24 + 1 = -15 \neq 0 \]
9. Попробуем \(y = 3\) (так как \(2^x = 3\) при \(x = \log_2 3\)): \[ 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 1 = 27 - 54 + 1 = -26 \neq 0 \]
10. Попробуем \(y = 4\) (так как \(2^x = 4\) при \(x = 2\)): \[ 4^3 - 6 \cdot 4^2 + 1 = 64 - 96 + 1 = -31 \neq 0 \]
11. Попробуем \(y = 5\) (так как \(2^x = 5\) при \(x = \log_2 5\)): \[ 5^3 - 6 \cdot 5^2 + 1 = 125 - 150 + 1 = -24 \neq 0 \]
12. Попробуем \(y = 6\) (так как \(2^x = 6\) при \(x = \log_2 6\)): \[ 6^3 - 6 \cdot 6^2 + 1 = 216 - 216 + 1 = 1 \neq 0 \]
13. Попробуем \(y = 7\) (так как \(2^x = 7\) при \(x = \log_2 7\)): \[ 7^3 - 6 \cdot 7^2 + 1 = 343 - 294 + 1 = 50 \neq 0 \]
14. Попробуем \(y = 8\) (так как \(2^x = 8\) при \(x = 3\)): \[ 8^3 - 6 \cdot 8^2 + 1 = 512 - 384 + 1 = 129 \neq 0 \]
15. Попробуем \(y = 9\) (так как \(2^x = 9\) при \(x = \log_2 9\)): \[ 9^3 - 6 \cdot 9^2 + 1 = 729 - 486 + 1 = 244 \neq 0 \]
16. Попробуем \(y = 10\) (так как \(2^x = 10\) при \(x = \log_2 10\)): \[ 10^3 - 6 \cdot 10^2 + 1 = 1000 - 600 + 1 = 401 \neq 0 \]
17. Попробуем \(y = 11\) (так как \(2^x = 11\) при \(x = \log_2 11\)): \[ 11^3 - 6 \cdot 11^2 + 1 = 1331 - 726 + 1 = 606 \neq 0 \]
18. Попробуем \(y = 12\) (так как \(2^x = 12\) при \(x = \log_2 12\)): \[ 12^3 - 6 \cdot 12^2 + 1 = 1728 - 864 + 1 = 865 \neq 0 \]
19. Попробуем \(y = 13\) (так как \(2^x = 13\) при \(x = \log_2 13\)): \[ 13^3 - 6 \cdot 13^2 + 1 = 2197 - 1014 + 1 = 1184 \neq 0 \]
20. Попробуем \(y = 14\) (так как \(2^x = 14\) при \(x = \log_2 14\)): \[ 14^3 - 6 \cdot 14^2 + 1 = 2744 - 1176 + 1 = 1569 \neq 0 \]
21. Попробуем \(y = 15\) (так как \(2^x = 15\) при \(x = \log_2 15\)): \[ 15^3 - 6 \cdot 15^2 + 1 = 3375 - 1350 + 1 = 2026 \neq 0 \]
22. Попробуем \(y = 16\) (так как \(2^x = 16\) при \(x = 4\)): \[ 16^3 - 6 \cdot 16^2 + 1 = 4096 - 1536 + 1 = 2561 \neq 0 \]
23. Попробуем \(y = 17\) (так как \(2^x = 17\) при \(x = \log_2 17\)): \[ 17^3 - 6 \cdot 17^2 + 1 = 4913 - 1734 + 1 = 3180 \neq 0 \]
24. Попробуем \(y = 18\) (так как \(2^x = 18\) при \(x = \log_2 18\)): \[ 18^3 - 6 \cdot 18^2 + 1 = 5832 - 1944 + 1 = 3889 \neq 0 \]
25. Попробуем \(y = 19\) (так как \(2^x = 19\) при \(x = \log_2 19\)): \[ 19^3 - 6 \cdot 19^2 + 1 = 6859 - 2166 + 1 = 4794 \neq 0 \]
26. Попробуем \(y = 20\) (так как \(2^x = 20\) при \(x = \log_2 20\)): \[ 20^3 - 6 \cdot 20^2 + 1 = 8000 - 2400 + 1 = 5601 \neq 0 \]
27. Попробуем \(y = 21\) (так как \(2^x = 21\) при \(x = \log_2 21\)): \[ 21^3 - 6 \cdot 21^2 + 1 = 9261 - 2646 + 1 = 6616 \neq 0 \]
28. Попробуем \(y = 22\) (так как \(2^x = 22\) при \(x = \log_2 22\)): \[ 22^3 - 6 \cdot 22^2 + 1 = 10648 - 2904 + 1 = 7745 \neq 0 \]
29. Попробуем \(y = 23\) (так как \(2^x = 23\) при \(x = \log_2 23\)): \[ 23^3 - 6 \cdot 23^2 + 1 = 12167 - 3186 + 1 = 8982 \neq 0 \]
30. Попробуем \(y = 24\) (так как \(2^x = 24\) при \(x = \log_2 24\)): \[ 24^3 - 6 \cdot 24^2 + 1 = 13824 - 3456 + 1 = 10369 \neq 0 \]
31. Попробуем \(y = 25\) (так как \(2^x = 25\) при \(x = \log_2 25\)): \[ 25^3 - 6 \cdot 25^2 + 1 = 15625 - 3750 + 1 = 11876 \neq 0 \]
32. Попробуем \(y = 26\) (так как \(2^x = 26\) при \(x = \log_2 26\)): \[ 26^3 - 6 \cdot 26^2 + 1 = 17576 - 4056 + 1 = 13521 \neq 0 \]
33. Попробуем \(y = 27\) (так как \(2^x = 27\) при \(x = \log_2 27\)): \[ 27^3 - 6 \cdot 27^2 + 1 = 19683 - 4374 + 1 = 15310 \neq 0 \]
34. Попробуем \(y = 28\) (так как \(2^x = 28\) при \(x = \log_2 28\)): \[ 28^3 - 6 \cdot 28^2 + 1 = 21952 - 4704 + 1 = 17249 \neq 0 \]
35. Попробуем \(y = 29\) (так как \(2^x = 29\) при \(x = \log_2 29\)): \[ 29^3 - 6 \cdot 29^2 + 1 = 24389 - 5046 + 1 = 19344 \neq 0 \]
36. Попробуем \(y = 30\) (так как \(2^x = 30\) при \(x = \log_2 30\)): \[ 30^3 - 6 \cdot 30^2 + 1 = 27000 - 5400 + 1 = 21601 \neq 0 \]
37. Попробуем \(y = 31\) (так как \(2^x = 31\) при \(x = \log_2 31\)): \[ 31^3 - 6 \cdot 31^2 + 1 = 29791 - 5766 + 1 = 24026 \neq 0 \]
38. Попробуем \(y = 32\) (так как \(2^x = 32\) при \(x = 5\)): \[ 32^3 - 6 \cdot 32^2 + 1 = 32768 - 6144 + 1 = 26625 \neq 0 \]
39. Попробуем \(y = 33\) (так как \(2^x = 33\) при \(x = \log_2 33\)): \[ 33^3 - 6 \cdot 33^2 + 1 = 35937 - 6534 + 1 = 29404 \neq 0 \]
40. Попробуем \(y = 34\) (так как \(2^x = 34\) при \(x = \log_2 34\)): \[ 34^3 - 6 \cdot 34^2 + 1 = 39304 - 6804 + 1 = 32501 \neq 0 \]
41. Попробуем \(y = 35\) (так как \(2^x = 35\) при \(x = \log_2 35\)): \[ 35^3 - 6 \cdot 35^2 + 1 = 42875 - 7056 + 1 = 35820 \neq 0 \]
42. Попробуем \(y = 36\) (так как \(2^x = 36\) при \(x = \log_2 36\)): \[ 36^3 -