Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(2^{12x-1}-4^{6x-1}+8^{4x-1}-16^{3x-1}=1280\)

Ответ

1

Решение № 7677:

Для решения уравнения \(2^{12x-1} - 4^{6x-1} + 8^{4x-1} - 16^{3x-1} = 1280\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2^{12x-1} - 4^{6x-1} + 8^{4x-1} - 16^{3x-1} = 1280 \]
2. Представим все степени в виде степеней с основанием 2: \[ 4 = 2^2, \quad 8 = 2^3, \quad 16 = 2^4 \]
3. Подставим эти значения в уравнение: \[ 2^{12x-1} - (2^2)^{6x-1} + (2^3)^{4x-1} - (2^4)^{3x-1} = 1280 \]
4. Упростим степени: \[ 2^{12x-1} - 2^{2(6x-1)} + 2^{3(4x-1)} - 2^{4(3x-1)} = 1280 \] \[ 2^{12x-1} - 2^{12x-2} + 2^{12x-3} - 2^{12x-4} = 1280 \]
5. Вынесем общий множитель \(2^{12x-4}\): \[ 2^{12x-4} \left( 2^3 - 2^2 + 2^1 - 1 \right) = 1280 \]
6. Упростим выражение в скобках: \[ 2^{12x-4} \left( 8 - 4 + 2 - 1 \right) = 1280 \] \[ 2^{12x-4} \cdot 5 = 1280 \]
7. Разделим обе части уравнения на 5: \[ 2^{12x-4} = \frac{1280}{5} \] \[ 2^{12x-4} = 256 \]
8. Представим 256 в виде степени с основанием 2: \[ 256 = 2^8 \]
9. Подставим \(2^8\) вместо 256 в уравнение: \[ 2^{12x-4} = 2^8 \]
10. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ 12x - 4 = 8 \]
11. Решим уравнение: \[ 12x - 4 = 8 \] \[ 12x = 12 \] \[ x = 1 \]

Таким образом, решение уравнения \(2^{12x-1} - 4^{6x-1} + 8^{4x-1} - 16^{3x-1} = 1280\) есть \(x = 1\). Ответ: 1