Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(81^{\left|x\right|}+16^{\left|x\right|}=\frac{13}{6}\cdot 36^{\left|x\right|}\)

Ответ

{-5,5}

Решение № 3858:

Для решения уравнения \(81^{|x|} + 16^{|x|} = \frac{13}{6} \cdot 36^{|x|}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 81^{|x|} + 16^{|x|} = \frac{13}{6} \cdot 36^{|x|} \]
2. Представим числа 81, 16 и 36 в виде степеней с основаниями 3 и 2: \[ 81 = 3^4, \quad 16 = 2^4, \quad 36 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \]
3. Подставим эти выражения в уравнение: \[ (3^4)^{|x|} + (2^4)^{|x|} = \frac{13}{6} \cdot (2^2 \cdot 3^2)^{|x|} \]
4. Упростим степени: \[ 3^{4|x|} + 2^{4|x|} = \frac{13}{6} \cdot (2^2)^{|x|} \cdot (3^2)^{|x|} \]
5. Продолжим упрощение: \[ 3^{4|x|} + 2^{4|x|} = \frac{13}{6} \cdot 2^{2|x|} \cdot 3^{2|x|} \]
6. Вынесем общий множитель \(2^{2|x|} \cdot 3^{2|x|}\): \[ 3^{2|x|} \cdot 3^{2|x|} + 2^{2|x|} \cdot 2^{2|x|} = \frac{13}{6} \cdot 2^{2|x|} \cdot 3^{2|x|} \]
7. Упростим выражение: \[ 3^{4|x|} + 2^{4|x|} = \frac{13}{6} \cdot 2^{2|x|} \cdot 3^{2|x|} \]
8. Разделим обе части уравнения на \(2^{2|x|} \cdot 3^{2|x|}\): \[ \frac{3^{4|x|}}{2^{2|x|} \cdot 3^{2|x|}} + \frac{2^{4|x|}}{2^{2|x|} \cdot 3^{2|x|}} = \frac{13}{6} \]
9. Упростим дроби: \[ \frac{3^{2|x|}}{2^{2|x|}} + \frac{2^{2|x|}}{3^{2|x|}} = \frac{13}{6} \]
10. Перепишем уравнение: \[ \left(\frac{3}{2}\right)^{2|x|} + \left(\frac{2}{3}\right)^{2|x|} = \frac{13}{6} \]
11. Обозначим \(t = \left(\frac{3}{2}\right)^{2|x|}\): \[ t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6} \]
12. Умножим обе части уравнения на \(t\): \[ t^2 + 1 = \frac{13}{6}t \]
13. Перенесем все члены в одну сторону: \[ 6t^2 - 13t + 6 = 0 \]
14. Решим квадратное уравнение: \[ t = \frac{2}{3} \quad \text{или} \quad t = \frac{3}{2} \]
15. Вернемся к переменной \(x\): \[ \left(\frac{3}{2}\right)^{2|x|} = \frac{2}{3} \quad \text{или} \quad \left(\frac{3}{2}\right)^{2|x|} = \frac{3}{2} \]
16. Решим для \(x\): \[ 2|x| \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{3}{2}\right) = \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{2}{3}\right) \quad \text{или} \quad 2|x| \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{3}{2}\right) = \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{3}{2}\right) \]
17. Упростим логарифмы: \[ 2|x| = -1 \quad \text{или} \quad 2|x| = 1 \]
18. Решим для \(x\): \[ |x| = \frac{1}{2} \]
19. Таким образом, \(x = \pm \frac{1}{2}\).

Ответ: \(x = \pm \frac{1}{2}\).