Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(\left | 3x-3 \right |+3^{2x}-3=0\)

Ответ

0

Решение № 3864:

Для решения уравнения \(\left| 3x - 3 \right| + 3^{2x} - 3 = 0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \left| 3x - 3 \right| + 3^{2x} - 3 = 0 \]
2. Рассмотрим два случая для модуля \(\left| 3x - 3 \right|\):
   • Случай 1: \(3x - 3 \geq 0\)
   • Случай 2: \(3x - 3 < 0\)
3. Случай 1: \(3x - 3 \geq 0\)
   • Тогда \(\left| 3x - 3 \right| = 3x - 3\)
   • Подставим в уравнение: \[ 3x - 3 + 3^{2x} - 3 = 0 \]
   • Упростим уравнение: \[ 3x - 6 + 3^{2x} = 0 \]
   • Рассмотрим уравнение \(3x - 6 + 3^{2x} = 0\). Поскольку \(3^{2x} > 0\) для всех \(x\), то \(3x - 6\) должно быть отрицательным, что противоречит \(3x - 3 \geq 0\). Следовательно, в этом случае решений нет.
4. Случай 2: \(3x - 3 < 0\)
   • Тогда \(\left| 3x - 3 \right| = -(3x - 3) = -3x + 3\)
   • Подставим в уравнение: \[ -3x + 3 + 3^{2x} - 3 = 0 \]
   • Упростим уравнение: \[ -3x + 3^{2x} = 0 \]
   • Рассмотрим уравнение \(-3x + 3^{2x} = 0\). Поскольку \(3^{2x} > 0\) для всех \(x\), то \(-3x\) должно быть отрицательным, что соответствует \(3x - 3 < 0\).
   • Перепишем уравнение: \[ 3^{2x} = 3x \]
   • Рассмотрим возможные значения \(x\):
     • Если \(x = 0\), то \(3^{2 \cdot 0} = 3 \cdot 0\), что верно.
     • Если \(x = 1\), то \(3^{2 \cdot 1} = 3 \cdot 1\), что верно.
   • Таким образом, решениями уравнения являются \(x = 0\) и \(x = 1\).

Ответ: \(x = 0\) и \(x = 1\).