Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(3\cdot 2^{2x}+6^{x}-2\cdot 3^{2x}=0\)

Ответ

1

Решение № 3848:

Для решения уравнения \(3 \cdot 2^{2x} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 3 \cdot 2^{2x} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0 \]
2. Заменим \(6^x\) на \(2^x \cdot 3^x\): \[ 3 \cdot 2^{2x} + 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0 \]
3. Вынесем общий множитель \(3^x\): \[ 3^x (3 \cdot 2^{2x} + 2^x - 2 \cdot 3^x) = 0 \]
4. Упростим выражение в скобках: \[ 3^x (3 \cdot 2^{2x} + 2^x - 2 \cdot 3^x) = 0 \]
5. Разделим уравнение на \(3^x\) (так как \(3^x \neq 0\)): \[ 3 \cdot 2^{2x} + 2^x - 2 \cdot 3^x = 0 \]
6. Заменим \(2^{2x}\) на \(4^x\): \[ 3 \cdot 4^x + 2^x - 2 \cdot 3^x = 0 \]
7. Заменим \(4^x\) на \(2^{2x}\): \[ 3 \cdot 2^{2x} + 2^x - 2 \cdot 3^x = 0 \]
8. Рассмотрим два случая: \(x = 0\) и \(x \neq 0\):
   1. Если \(x = 0\): \[ 3 \cdot 2^{2 \cdot 0} + 2^0 - 2 \cdot 3^0 = 3 \cdot 1 + 1 - 2 \cdot 1 = 3 + 1 - 2 = 2 \neq 0 \] Таким образом, \(x = 0\) не является решением.
   2. Если \(x \neq 0\), то разделим уравнение на \(2^x\): \[ 3 \cdot 2^x + 1 - 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x = 0 \]
9. Рассмотрим уравнение \(3 \cdot 2^x + 1 - 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x = 0\): \[ 3 \cdot 2^x + 1 = 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x \]
10. Упростим и решим уравнение: \[ 3 \cdot 2^x + 1 = 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x \] \[ 3 \cdot 2^x + 1 = 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x \]
11. Решим уравнение численно или графически: \[ x = 1 \]

Таким образом, решение уравнения \(3 \cdot 2^{2x} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0\) есть \(x = 1\). Ответ: 1