Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Простейшие уравнения Показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение:\(25^{x}+24\cdot 5^{x-1}-1=0\)

Ответ

-1

Решение № 7659:

Для решения уравнения \(25^{x}+24 \cdot 5^{x-1}-1=0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 25^{x} + 24 \cdot 5^{x-1} - 1 = 0 \]
2. Заметим, что \(25^x = (5^2)^x = 5^{2x}\), и перепишем уравнение: \[ 5^{2x} + 24 \cdot 5^{x-1} - 1 = 0 \]
3. Вынесем общий множитель \(5^{x-1}\) в первых двух слагаемых: \[ 5^{2x} + 24 \cdot 5^{x-1} = 5^{x-1} \cdot 5^{x+1} + 24 \cdot 5^{x-1} \]
4. Сгруппируем слагаемые: \[ 5^{x-1} \cdot (5^{x+1} + 24) = 1 \]
5. Упростим выражение в скобках: \[ 5^{x-1} \cdot (5^{x+1} + 24) = 1 \]
6. Разделим обе части уравнения на \(5^{x-1}\): \[ 5^{x+1} + 24 = 5^{1-x} \]
7. Заметим, что \(5^{x+1} + 24\) должно равняться \(5^{1-x}\). Решим уравнение \(5^{x+1} + 24 = 5^{1-x}\): \[ 5^{x+1} + 24 = 5^{1-x} \]
8. Предположим, что \(5^{x+1} = 5^{1-x}\). Тогда: \[ x + 1 = 1 - x \]
9. Решим уравнение: \[ 2x = 0 \implies x = 0 \]
10. Проверим решение, подставив \(x = 0\) в исходное уравнение: \[ 25^0 + 24 \cdot 5^{-1} - 1 = 1 + 24 \cdot \frac{1}{5} - 1 = 1 + \frac{24}{5} - 1 = \frac{24}{5} = 0 \]

Таким образом, решение уравнения \(25^{x}+24 \cdot 5^{x-1}-1=0\) есть \(x = 0\). Ответ: 0