Решение №22091: Для решения уравнения \(\sqrt{2} \sin x + \sin 2x = 0\) выполним следующие шаги:

1. Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\). Тогда уравнение принимает вид: \[\sqrt{2} \sin x + 2 \sin x \cos x = 0\]
2. Выносим \(\sin x\) за скобки: \[\sin x (\sqrt{2} + 2 \cos x) = 0\]
3. Рассматриваем два случая:
   • Случай 1: \(\sin x = 0\)
     • Решение этого уравнения даёт: \[x_1 = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]
   • Случай 2: \(\sqrt{2} + 2 \cos x = 0\)
     • Решаем уравнение для \(\cos x\): \[2 \cos x = -\sqrt{2}\] \[\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]
     • Решение этого уравнения даёт: \[x_2 = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]
4. Объединяем решения двух случаев: \[x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] \[x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \(x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\) и \(x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №22092: Конечно, давайте решим уравнение \(\frac{\cos x - \cos^2 x}{\sin x} = 0\) пошагово. ```html

1. Умножим обе части уравнения на \(\sin x\) (предполагая, что \(\sin x \neq 0\)): \(\cos x - \cos^2 x = 0\)
2. Вынесем общий множитель \(\cos x\): \(\cos x (1 - \cos x) = 0\)
3. Приравняем каждый множитель к нулю: \(\cos x = 0\) или \(1 - \cos x = 0\)
4. Решим уравнение \(\cos x = 0\): \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
5. Решим уравнение \(1 - \cos x = 0\): \(\cos x = 1\) \(x = 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\)
6. Проверим, что \(\sin x \neq 0\) для найденных решений: Для \(x = 2\pi n\), \(\sin x = 0\), что не удовлетворяет условию \(\sin x \neq 0\). Для \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(\sin x \neq 0\), что удовлетворяет условию.

Ответ: \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №22093: Решим уравнение \( \sin x + \cos x = \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} \) для \( \frac{3}{2}\pi < x < \frac{5}{2}\pi \).

1. Перепишем уравнение: \[ \sin x + \cos x = \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} \] Умножим обе части на \(\sin x \cos x\): \[ \sin x \cos x (\sin x + \cos x) = \cos x + \sin x \]
2. Поскольку \(\sin x + \cos x \neq 0\) (иначе уравнение не имело бы смысла), делим обе части на \(\sin x + \cos x\): \[ \sin x \cos x = 1 \]
3. Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Подставляем \(\sin x \cos x = 1\): \[ \sin 2x = 2 \]
4. Синус не может быть больше 1, следовательно, \(\sin 2x = 1\): \[ \sin 2x = 1 \]
5. Находим \(2x\): \[ 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Разделим на 2: \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
6. Определим \(x\) в заданном интервале \(\frac{3}{2}\pi < x < \frac{5}{2}\pi\): \[ \frac{3}{2}\pi < \frac{\pi}{4} + k\pi < \frac{5}{2}\pi \] Решим неравенство: \[ \frac{3}{2}\pi < \frac{\pi}{4} + k\pi < \frac{5}{2}\pi \] \[ \frac{3}{2}\pi - \frac{\pi}{4} < k\pi < \frac{5}{2}\pi - \frac{\pi}{4} \] \[ \frac{5\pi}{4} < k\pi < \frac{9\pi}{4} \] \[ \frac{5}{4} < k < \frac{9}{4} \] Поскольку \(k\) целое, \(k = 2\): \[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \]

Ответ: \(x = \frac{9\pi}{4}\)

Ответ: NaN

Решение №22094:

1. Преобразуем исходное уравнение: \[ 2 \sin x \sin 6x + \cos 2x = 1 \] Используем формулу произведения синусов: \[ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos (A - B) - \cos (A + B)] \] Подставляем \(A = x\) и \(B = 6x\): \[ 2 \sin x \sin 6x = 2 \cdot \frac{1}{2} [\cos (x - 6x) - \cos (x + 6x)] = \cos (-5x) - \cos 7x = \cos 5x - \cos 7x \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \cos 5x - \cos 7x + \cos 2x = 1 \]
2. Используем формулу суммы косинусов: \[ \cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A + B}{2}\right) \cos \left(\frac{A - B}{2}\right) \] Подставляем \(A = 5x\) и \(B = 2x\): \[ \cos 5x + \cos 2x = 2 \cos \left(\frac{5x + 2x}{2}\right) \cos \left(\frac{5x - 2x}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{7x}{2}\right) \cos \left(\frac{3x}{2}\right) \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ 2 \cos \left(\frac{7x}{2}\right) \cos \left(\frac{3x}{2}\right) - \cos 7x = 1 \]
3. Используем формулу произведения косинусов: \[ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A + B) + \cos (A - B)] \] Подставляем \(A = \frac{7x}{2}\) и \(B = \frac{3x}{2}\): \[ 2 \cos \left(\frac{7x}{2}\right) \cos \left(\frac{3x}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} [\cos (5x) + \cos (2x)] = \cos 5x + \cos 2x \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \cos 5x + \cos 2x - \cos 7x = 1 \]
4. Рассмотрим два случая:
   • Случай 1: \[ \cos 5x + \cos 2x = 1 + \cos 7x \] Это возможно, если: \[ \cos 5x = 1 \quad \text{и} \quad \cos 2x = \cos 7x \] Решим \(\cos 5x = 1\): \[ 5x = 2\pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} \]
   • Случай 2: \[ \cos 5x + \cos 2x = -1 - \cos 7x \] Это возможно, если: \[ \cos 5x = -1 \quad \text{и} \quad \cos 2x = -\cos 7x \] Решим \(\cos 5x = -1\): \[ 5x = \pi + 2\pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi + 2\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} \]
5. Итоговые решения: \[ x = \frac{2\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} \] и \[ x = \frac{\pi + 2\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \frac{2\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}\) и \(x = \frac{\pi + 2\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №22095:

1. Выпишем исходное уравнение: \[ \operatorname{tg} 5x = \sin^2 x \operatorname{tg} 5x \]
2. Перенесем все члены в одну сторону: \[ \operatorname{tg} 5x - \sin^2 x \operatorname{tg} 5x = 0 \]
3. Вынесем общий множитель \(\operatorname{tg} 5x\): \[ \operatorname{tg} 5x (1 - \sin^2 x) = 0 \]
4. Рассмотрим два случая:
   1. Первый случай: \(\operatorname{tg} 5x = 0\).
   2. Второй случай: \(1 - \sin^2 x = 0\).
5. Решаем первый случай: \(\operatorname{tg} 5x = 0\).
6. Зная, что \(\operatorname{tg} \theta = 0\), если \(\theta = k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\): \[ 5x = k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{k\pi}{5} \]
7. Решаем второй случай: \(1 - \sin^2 x = 0\).
8. Зная, что \(\sin^2 x = 1\), если \(\sin x = \pm 1\): \[ \sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = -1 \]
9. Решаем \(\sin x = 1\): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z} \]
10. Решаем \(\sin x = -1\): \[ x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]
11. Проверяем, удовлетворяют ли найденные решения исходному уравнению: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2m\pi \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi \] Эти решения не удовлетворяют исходному уравнению, так как \(\operatorname{tg} 5x\) не определено при этих значениях \(x\).
12. Следовательно, единственным решением является: \[ x = \frac{k\pi}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \frac{k\pi}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №22096:

1. Используем формулу двойного угла для синуса и косинуса: \(\sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x\) и \(\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x\).
2. Подставляем эти формулы в исходное уравнение: \(\frac{1}{2} \sin 4x - \frac{1}{2} \sin 2x = 0\).
3. Умножаем все члены уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \(\sin 4x - \sin 2x = 0\).
4. Используем формулу суммы синусов: \(\sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)\). Подставляем \(A = 4x\) и \(B = 2x\): \(\sin 4x - \sin 2x = 2 \cos \left(\frac{4x + 2x}{2}\right) \sin \left(\frac{4x - 2x}{2}\right) = 2 \cos 3x \sin x\).
5. Теперь уравнение принимает вид: \(2 \cos 3x \sin x = 0\).
6. Уравнение будет выполняться, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
   1. Первый случай: \(\cos 3x = 0\). \(\cos 3x = 0\) при \(3x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\). Отсюда \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
   2. Второй случай: \(\sin x = 0\). \(\sin x = 0\) при \(x = n\pi\), где \(n \in \mathbb{Z}\).
7. Объединяем решения из двух случаев: \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}\) или \(x = n\pi\), где \(k, n \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}\) или \(x = n\pi\), где \(k, n \in \mathbb{Z}\).

Ответ: NaN

Решение №22097: ### Решение уравнения \( \sin^3 x - \sin^2 x = \sin^2 x \cdot \cos^2 x \)

1. Перепишем уравнение в более удобной форме: \[ \sin^3 x - \sin^2 x = \sin^2 x \cdot \cos^2 x \]
2. Вынесем общий множитель \(\sin^2 x\): \[ \sin^2 x (\sin x - 1) = \sin^2 x \cdot \cos^2 x \]
3. Разделим обе части уравнения на \(\sin^2 x\) (при \(\sin x \neq 0\)): \[ \sin x - 1 = \cos^2 x \]
4. Используем основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\): \[ \sin x - 1 = 1 - \sin^2 x \]
5. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ \sin^2 x + \sin x - 2 = 0 \]
6. Решим полученное квадратное уравнение относительно \(\sin x\): \[ \sin x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]
7. Найдем корни уравнения: \[ \sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = -2 \]
8. Отбросим \(\sin x = -2\), так как \(\sin x\) не может быть меньше -1: \[ \sin x = 1 \]
9. Найдем значения \(x\), при которых \(\sin x = 1\): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
10. Не забудем про случай, когда \(\sin x = 0\) (который был отброшен ранее): \[ \sin x = 0 \implies x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \) и \( x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN

Решение №22098: Для решения уравнения \(2\sin^3 x - \cos 2x - \sin x = 0\), следуйте этим шагам:

1. Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\). Подставляем её в уравнение: \[ 2\sin^3 x - (1 - 2\sin^2 x) - \sin x = 0 \]
2. Упрощаем уравнение: \[ 2\sin^3 x - 1 + 2\sin^2 x - \sin x = 0 \]
3. Перегруппируем члены: \[ 2\sin^3 x + 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \]
4. Выносим общий множитель \(\sin x\): \[ \sin x (2\sin^2 x + 2\sin x - 1) - 1 = 0 \]
5. Рассматриваем два случая:
   1. Первый случай: \(\sin x = 0\): \[ \sin x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
   2. Второй случай: \(2\sin^2 x + 2\sin x - 1 = 0\). Решаем квадратное уравнение относительно \(\sin x\): \[ 2\sin^2 x + 2\sin x - 1 = 0 \] Используем формулу квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ \sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставляем \(a = 2\), \(b = 2\), \(c = -1\): \[ \sin x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} \] Получаем два решения: \[ \sin x = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2} \quad \text{и} \quad \sin x = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} \]
6. Анализируем полученные значения \(\sin x\):
   1. Значение \(\sin x = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}\) невозможно, так как оно не принадлежит диапазону \([-1, 1]\).
   2. Значение \(\sin x = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}\) невозможно, так как оно также не принадлежит диапазону \([-1, 1]\).
7. Таким образом, единственное решение: \[ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №22099: Для решения уравнения \(2 \cos x - \sin 2x = 0\) с условием \(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\), выполним следующие шаги:

1. Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\). Подставляем её в уравнение: \[ 2 \cos x - 2 \sin x \cos x = 0 \]
2. Выносим \(\cos x\) за скобки: \[ 2 \cos x (1 - \sin x) = 0 \]
3. Решаем уравнение \(2 \cos x (1 - \sin x) = 0\). Оно выполняется, если хотя бы одно из выражений в скобках равно нулю: \[ \cos x = 0 \quad \text{или} \quad 1 - \sin x = 0 \]
4. Решаем \(\cos x = 0\): \[ x = \frac{\pi}{2} \]
5. Решаем \(1 - \sin x = 0\): \[ \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} \]
6. Так как \(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\), проверяем, что оба решения удовлетворяют этому условию. Оба решения \(x = \frac{\pi}{2}\) удовлетворяют условию.
7. Переводим ответ в градусы: \[ \frac{\pi}{2} = 90^\circ \]

Ответ: \(90^\circ\)

Ответ: NaN

Решение №22100: Решим уравнение \( \cos^2 \frac{x}{3} + 2 \sin^2 \frac{x}{3} = 1 \) пошагово.

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \frac{x}{3} + \cos^2 \frac{x}{3} = 1 \]
2. Подставляем \(\cos^2 \frac{x}{3} = 1 - \sin^2 \frac{x}{3}\) в исходное уравнение: \[ \cos^2 \frac{x}{3} + 2 \sin^2 \frac{x}{3} = 1 \] \[ 1 - \sin^2 \frac{x}{3} + 2 \sin^2 \frac{x}{3} = 1 \]
3. Упрощаем уравнение: \[ 1 - \sin^2 \frac{x}{3} + 2 \sin^2 \frac{x}{3} = 1 \] \[ 1 + \sin^2 \frac{x}{3} = 1 \]
4. Вычитаем 1 из обеих сторон уравнения: \[ \sin^2 \frac{x}{3} = 0 \]
5. Решаем уравнение \(\sin^2 \frac{x}{3} = 0\): \[ \sin \frac{x}{3} = 0 \]
6. Находим решение для \(\sin \frac{x}{3} = 0\): \[ \frac{x}{3} = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]
7. Решаем относительно \(x\): \[ x = 3n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = 3n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN

Решение №22101: Для решения уравнения \(2\sin(2x) + 2\sin(x) - 3 = 6\cos(x)\) выполним следующие шаги:

1. Используем формулу двойного угла для синуса: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Тогда уравнение преобразуется в: \[ 2(2\sin(x)\cos(x)) + 2\sin(x) - 3 = 6\cos(x) \] \[ 4\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) - 3 = 6\cos(x) \]
2. Переносим все члены с $\cos(x)$ в одну сторону уравнения: \[ 4\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) - 6\cos(x) - 3 = 0 \]
3. Выделяем $\cos(x)$: \[ 4\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) - 6\cos(x) - 3 = 0 \] \[ \cos(x)(4\sin(x) - 6) + 2\sin(x) - 3 = 0 \]
4. Рассматриваем два случая: $\cos(x) = 0$ и $4\sin(x) - 6 \neq 0$.
5. Случай 1: $\cos(x) = 0$. Тогда: \[ \cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
6. Случай 2: $4\sin(x) - 6 \neq 0$. Тогда: \[ 4\sin(x) - 6 \neq 0 \implies \sin(x) \neq \frac{3}{2} \] Это условие всегда выполняется, так как $\sin(x)$ не может быть больше 1.
7. Подставляем $\cos(x)$ и $\sin(x)$ в уравнение и решаем его: \[ 4\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) - 6\cos(x) - 3 = 0 \] \[ \cos(x)(4\sin(x) - 6) + 2\sin(x) - 3 = 0 \] \[ \cos(x)(4\sin(x) - 6) = -2\sin(x) + 3 \]
8. Решаем уравнение для $\sin(x)$ и $\cos(x)$: \[ 4\sin(x)\cos(x) - 6\cos(x) = -2\sin(x) + 3 \] \[ 4\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) = 6\cos(x) + 3 \] \[ 2\sin(x)(2\cos(x) + 1) = 6\cos(x) + 3 \] \[ 2\sin(x) = \frac{6\cos(x) + 3}{2\cos(x) + 1} \]
9. Решаем квадратное уравнение для $\sin(x)$: \[ 2\sin(x) = \frac{6\cos(x) + 3}{2\cos(x) + 1} \] \[ 2\sin(x)(2\cos(x) + 1) = 6\cos(x) + 3 \] \[ 4\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) = 6\cos(x) + 3 \] \[ 4\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) - 6\cos(x) - 3 = 0 \]
10. Решаем уравнение для $\sin(x)$ и $\cos(x)$: \[ 4\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) - 6\cos(x) - 3 = 0 \] \[ 2\sin(x)(2\cos(x) + 1) = 6\cos(x) + 3 \] \[ 2\sin(x) = \frac{6\cos(x) + 3}{2\cos(x) + 1} \]

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: NaN

Решение №22102: Для решения уравнения \(2\cos x - 3 = 6\sin x - 2\sin 2x\), выполним следующие шаги:

1. Перепишем уравнение в стандартном виде: \[ 2\cos x - 3 = 6\sin x - 2\sin 2x \]
2. Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin 2x = 2\sin x \cos x \] Подставим это в уравнение: \[ 2\cos x - 3 = 6\sin x - 2(2\sin x \cos x) \] \[ 2\cos x - 3 = 6\sin x - 4\sin x \cos x \]
3. Перенесём все члены в левую часть уравнения: \[ 2\cos x - 3 - 6\sin x + 4\sin x \cos x = 0 \]
4. Упростим уравнение: \[ 2\cos x + 4\sin x \cos x - 6\sin x - 3 = 0 \] \[ 2\cos x (1 + 2\sin x) - 6\sin x - 3 = 0 \]
5. Рассмотрим два случая:
   1. Пусть \(\cos x = 0\): \[ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] Подставим \(\cos x = 0\) в уравнение: \[ -3 - 6\sin x = 0 \] \[ \sin x = -\frac{1}{2} \] Решения: \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
   2. Пусть \(\cos x \neq 0\): Разделим уравнение на \(\cos x\): \[ 2(1 + 2\sin x) - 6\tan x - 3 = 0 \] \[ 2 + 4\sin x - 6\tan x - 3 = 0 \] \[ 4\sin x - 6\tan x - 1 = 0 \] Подставим \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\): \[ 4\sin x - 6\frac{\sin x}{\cos x} - 1 = 0 \] \[ 4\sin x \cos x - 6\sin x - \cos x = 0 \] Разделим на \(\cos x\): \[ 4\sin x - 6\tan x - 1 = 0 \] \[ 4\sin x - 6\frac{\sin x}{\cos x} - 1 = 0 \] \[ 4\sin x \cos x - 6\sin x - \cos x = 0 \] \[ \sin x (4\cos x - 6) - \cos x = 0 \] Решим уравнение: \[ \sin x = \frac{1}{2} \] Решения: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
6. Объединим решения: \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №22103: Для решения уравнения \( \cos \frac{1}{x} \cdot \sin 2x = 4 \sin x \cos x \), выполним следующие шаги: 1. **Используем формулу двойного угла для синуса:** \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] 2. **Подставляем эту формулу в уравнение:** \[ \cos \frac{1}{x} \cdot \sin 2x = 4 \sin x \cos x \] Заменяем \(\sin 2x\): \[ \cos \frac{1}{x} \cdot 2 \sin x \cos x = 4 \sin x \cos x \] 3. **Упрощаем уравнение:** \[ \cos \frac{1}{x} \cdot 2 \sin x \cos x - 4 \sin x \cos x = 0 \] Выносим общий множитель \(2 \sin x \cos x\): \[ 2 \sin x \cos x \left( \cos \frac{1}{x} - 2 \right) = 0 \] 4. **Рассматриваем два случая:** - **Первый случай:** \[ 2 \sin x \cos x = 0 \] Это уравнение выполняется, если \(\sin x = 0\) или \(\cos x = 0\). - **Если \(\sin x = 0\):** \[ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] - **Если \(\cos x = 0\):** \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] - **Второй случай:** \[ \cos \frac{1}{x} - 2 = 0 \] Это уравнение не имеет решений, так как максимальное значение косинуса равно 1, и оно не может быть равно 2. 5. **Заключение:** Решениями уравнения являются: \[ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] и \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pi k \) и \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( k \) и \( n \) — целые числа.

Ответ: NaN

Решение №22104: Для решения уравнения \(6 \sin x \cos x + \sin 2x \sin \frac{2}{x} = 0\), выполним следующие шаги:

1. Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\). Тогда уравнение принимает вид: \[6 \sin x \cos x + 2 \sin x \cos x \sin \frac{2}{x} = 0\]
2. Заметим, что \(6 \sin x \cos x = 3 \sin 2x\), и подставим это в уравнение: \[3 \sin 2x + \sin 2x \sin \frac{2}{x} = 0\]
3. Вынесем общий множитель \(\sin 2x\): \[\sin 2x (3 + \sin \frac{2}{x}) = 0\]
4. Рассмотрим два случая:
   1. Если \(\sin 2x = 0\), то: \[2x = n\pi \quad \text{для} \quad n \in \mathbb{Z}\] \[x = \frac{n\pi}{2}\]
   2. Если \(\sin \frac{2}{x} = -3\), то это невозможно, так как значение синуса находится в диапазоне \([-1, 1]\).
5. Следовательно, единственное решение уравнения: \[x = \frac{n\pi}{2} \quad \text{для} \quad n \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \(x = \frac{n\pi}{2} \quad \text{для} \quad n \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №22105: Для решения уравнения \( \sin x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \) выполним следующие шаги: 1. **Используем формулу двойного угла для синуса:** \[ \sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \] 2. **Подставляем эту формулу в исходное уравнение:** \[ 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \] 3. **Сокращаем оба члена уравнения на 2:** \[ \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin^2 \frac{x}{2} \] 4. **Выносим \(\sin \frac{x}{2}\) за скобки:** \[ \sin \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) = 0 \] 5. **Рассматриваем два случая:** - **Случай 1: \(\sin \frac{x}{2} = 0\):** \[ \frac{x}{2} = \pi k \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = 2 \pi k \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] - **Случай 2: \(\cos \frac{x}{2} = \sin \frac{x}{2}\):** \[ \cos \frac{x}{2} = \sin \frac{x}{2} \] \[ \tan \frac{x}{2} = 1 \] \[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n \quad \text{где} \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n \quad \text{где} \quad n \in \mathbb{Z} \] 6. **Объединяем решения:** \[ x = 2 \pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n \quad \text{где} \quad k, n \in \mathbb{Z} \] ### Ответ: \[ x = 2 \pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n \quad \text{где} \quad k, n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №22106: Для решения уравнения \( \sin 2x = \frac{\cos x}{1 - \sin x} \), выполним следующие шаги:

1. Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ 2 \sin x \cos x = \frac{\cos x}{1 - \sin x} \]
2. Умножим обе части уравнения на \( 1 - \sin x \): \[ 2 \sin x \cos x (1 - \sin x) = \cos x \]
3. Раскроем скобки: \[ 2 \sin x \cos x - 2 \sin^2 x \cos x = \cos x \]
4. Вынесем \( \cos x \) за скобки: \[ \cos x (2 \sin x - 2 \sin^2 x - 1) = 0 \]
5. Рассмотрим два случая:
   • Первый случай: \( \cos x = 0 \)
   • Второй случай: \( 2 \sin x - 2 \sin^2 x - 1 = 0 \)
6. Решим первый случай: \[ \cos x = 0 \] Это происходит при: \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Решим второй случай: \[ 2 \sin x - 2 \sin^2 x - 1 = 0 \] Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ 2 \sin^2 x - 2 \sin x + 1 = 0 \] Введем замену \( y = \sin x \): \[ 2 y^2 - 2 y + 1 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение: \[ 2 y^2 - 2 y + 1 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4 \] Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет реальных решений.
9. Таким образом, единственное решение уравнения: \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN

Решение №22107: Для решения уравнения \(2\cos x + \sin x = 1 + \sin 2x\) выполним следующие шаги:

1. Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)
2. Подставляем \(\sin 2x\) в уравнение: \(2\cos x + \sin x = 1 + 2 \sin x \cos x\)
3. Переносим все члены в одну сторону: \(2\cos x + \sin x - 2 \sin x \cos x - 1 = 0\)
4. Группируем члены: \((2\cos x - 2 \sin x \cos x) + (\sin x - 1) = 0\)
5. Выносим общий множитель: \(2\cos x(1 - \sin x) + (\sin x - 1) = 0\)
6. Заметим, что \(\sin x - 1 = -(1 - \sin x)\): \(2\cos x(1 - \sin x) - (1 - \sin x) = 0\)
7. Выносим общий множитель \((1 - \sin x)\): \((1 - \sin x)(2\cos x - 1) = 0\)
8. Рассматриваем два случая:
   1. \(1 - \sin x = 0\): \(\sin x = 1\)
   2. \(2\cos x - 1 = 0\): \(\cos x = \frac{1}{2}\)
9. Решаем первый случай: \(\sin x = 1\)
   1. Из уравнения \(\sin x = 1\) следует, что: \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
10. Решаем второй случай: \(\cos x = \frac{1}{2}\)
    1. Из уравнения \(\cos x = \frac{1}{2}\) следует, что: \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi\), где \(n \in \mathbb{Z}\)

Ответ: \(x_1 = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), \(x_2 = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi\), где \(k, n \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №22108: Для решения уравнения \( \sin x = 2 \sin^3 x - \cos 2x \), выполним следующие шаги: 1. **Преобразуем уравнение:** \[ \sin x = 2 \sin^3 x - \cos 2x \] Используем формулу двойного угла для косинуса: \[ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \] Подставим это в уравнение: \[ \sin x = 2 \sin^3 x - (1 - 2 \sin^2 x) \] 2. **Упростим уравнение:** \[ \sin x = 2 \sin^3 x - 1 + 2 \sin^2 x \] Перенесем все члены в одну сторону: \[ 2 \sin^3 x - 2 \sin^2 x - \sin x + 1 = 0 \] 3. **Вынесем общий множитель:** \[ (\sin x - 1)(2 \sin^2 x + 1) = 0 \] 4. **Решим уравнение:** \[ \sin x - 1 = 0 \quad \text{или} \quad 2 \sin^2 x + 1 = 0 \] - Для \(\sin x - 1 = 0\): \[ \sin x = 1 \] Решение: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] - Для \(2 \sin^2 x + 1 = 0\): \[ 2 \sin^2 x = -1 \] Это уравнение не имеет решений, так как \(\sin^2 x\) всегда неотрицательно. 5. **Заключение:** Решением уравнения является: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ```html

1. Преобразуем уравнение: \[ \sin x = 2 \sin^3 x - \cos 2x \] Используем формулу двойного угла для косинуса: \[ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \] Подставим это в уравнение: \[ \sin x = 2 \sin^3 x - (1 - 2 \sin^2 x) \]
2. Упростим уравнение: \[ \sin x = 2 \sin^3 x - 1 + 2 \sin^2 x \] Перенесем все члены в одну сторону: \[ 2 \sin^3 x - 2 \sin^2 x - \sin x + 1 = 0 \]
3. Вынесем общий множитель: \[ (\sin x - 1)(2 \sin^2 x + 1) = 0 \]
4. Решим уравнение: \[ \sin x - 1 = 0 \quad \text{или} \quad 2 \sin^2 x + 1 = 0 \] - Для \(\sin x - 1 = 0\): \[ \sin x = 1 \] Решение: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] - Для \(2 \sin^2 x + 1 = 0\): \[ 2 \sin^2 x = -1 \] Это уравнение не имеет решений, так как \(\sin^2 x\) всегда неотрицательно.
5. Заключение: Решением уравнения является: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №22109: Решим уравнение \( \operatorname{ctg} x + \cos x - \sin x = 1 \) пошагово. 1. **Перепишем уравнение в терминах синуса и косинуса:** \[ \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \] Тогда уравнение принимает вид: \[ \frac{\cos x}{\sin x} + \cos x - \sin x = 1 \] 2. **Умножим обе части уравнения на \(\sin x\):** \[ \cos x + \cos x \sin x - \sin^2 x = \sin x \] 3. **Перенесём все члены в одну сторону:** \[ \cos x + \cos x \sin x - \sin^2 x - \sin x = 0 \] 4. **Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):** \[ \cos x + \cos x \sin x - (1 - \cos^2 x) - \sin x = 0 \] 5. **Упростим уравнение:** \[ \cos x + \cos x \sin x - 1 + \cos^2 x - \sin x = 0 \] \[ \cos^2 x + \cos x \sin x + \cos x - \sin x - 1 = 0 \] 6. **Рассмотрим два случая: \(\sin x = 0\) и \(\sin x \neq 0\):** - **Случай 1: \(\sin x = 0\):** \[ \sin x = 0 \implies x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] В этом случае \(\cos x = \pm 1\), и уравнение \(\cos x - 1 = 0\) выполняется. - **Случай 2: \(\sin x \neq 0\):** \[ \cos x \sin x + \cos x - \sin x - 1 = 0 \] Разделим уравнение на \(\sin x\): \[ \cos x + \frac{\cos x - 1}{\sin x} = 0 \] \[ \cos x + \operatorname{ctg} x - \frac{1}{\sin x} = 0 \] \[ \cos x + \operatorname{ctg} x - \frac{1}{\sin x} = 0 \] Это уравнение не имеет решений, так как \(\sin x \neq 0\) и \(\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}\). 7. **Заключение:** \[ x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №22110: Для решения уравнения \( \sin 2x \sin 6x - \sqrt{3} \sin 3x \cos 8x = \cos 2x \cos 6x \), выполним следующие шаги:

1. Перепишем уравнение для удобства: \[ \sin 2x \sin 6x - \sqrt{3} \sin 3x \cos 8x = \cos 2x \cos 6x \]
2. Используем формулу произведения синусов: \[ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos (A - B) - \cos (A + B)] \] Применим её к \(\sin 2x \sin 6x\): \[ \sin 2x \sin 6x = \frac{1}{2} [\cos (2x - 6x) - \cos (2x + 6x)] = \frac{1}{2} [\cos (-4x) - \cos 8x] = \frac{1}{2} [\cos 4x - \cos 8x] \]
3. Используем формулу произведения косинусов: \[ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A + B) + \cos (A - B)] \] Применим её к \(\cos 2x \cos 6x\): \[ \cos 2x \cos 6x = \frac{1}{2} [\cos (2x + 6x) + \cos (2x - 6x)] = \frac{1}{2} [\cos 8x + \cos (-4x)] = \frac{1}{2} [\cos 8x + \cos 4x] \]
4. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: \[ \frac{1}{2} [\cos 4x - \cos 8x] - \sqrt{3} \sin 3x \cos 8x = \frac{1}{2} [\cos 8x + \cos 4x] \]
5. Умножим обе части уравнения на 2 для упрощения: \[ \cos 4x - \cos 8x - 2\sqrt{3} \sin 3x \cos 8x = \cos 8x + \cos 4x \]
6. Перенесём все члены с \(\cos 8x\) в одну сторону уравнения: \[ \cos 4x - \cos 8x - 2\sqrt{3} \sin 3x \cos 8x - \cos 8x - \cos 4x = 0 \] \[ -2 \cos 8x - 2\sqrt{3} \sin 3x \cos 8x = 0 \]
7. Вынесем \(\cos 8x\) за скобки: \[ \cos 8x (1 + \sqrt{3} \sin 3x) = 0 \]
8. Рассмотрим два случая:
   • \(\cos 8x = 0\): \[ 8x = \frac{\pi}{2} + \pi k \quad \text{где } k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8} = \frac{\pi}{16} (2k + 1) \]
   • \(1 + \sqrt{3} \sin 3x = 0\): \[ \sin 3x = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \] \[ 3x = \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 2\pi n \quad \text{или} \quad 3x = \pi - \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 2\pi n \quad \text{где } n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{1}{3} \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \frac{2\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x = \frac{1}{3} \left(\pi - \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right) + \frac{2\pi n}{3} \]

Ответ: \[ x = \frac{\pi}{16} (2k + 1) \quad \text{или} \quad x = \frac{1}{3} \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \frac{2\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x = \frac{1}{3} \left(\pi - \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right) + \frac{2\pi n}{3} \]

Ответ: NaN

Решение №22111:

1. Начнем с исходного уравнения: \[ \sin 2x = \sin x (\sin x + \cos x) \]
2. Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \]
3. Подставляем эту формулу в исходное уравнение: \[ 2 \sin x \cos x = \sin x (\sin x + \cos x) \]
4. Раскрываем скобки: \[ 2 \sin x \cos x = \sin^2 x + \sin x \cos x \]
5. Выносим \(\sin x \cos x\) за скобки: \[ 2 \sin x \cos x - \sin x \cos x = \sin^2 x \] \[ \sin x \cos x = \sin^2 x \]
6. Переносим все в одну сторону уравнения: \[ \sin x \cos x - \sin^2 x = 0 \]
7. Выносим \(\sin x\) за скобки: \[ \sin x (\cos x - \sin x) = 0 \]
8. Рассматриваем два случая:
   • \(\sin x = 0\)
   • \(\cos x - \sin x = 0\)
9. Решаем первый случай \(\sin x = 0\): \[ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
10. Решаем второй случай \(\cos x = \sin x\): \[ \cos x = \sin x \] \[ \cos x = \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) \]
11. Используем формулу для косинуса разности: \[ \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x \] \[ \cos x = \sin x \]
12. Решаем уравнение \(\cos x = \sin x\): \[ \cos x = \sin x \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
13. Итак, решениями уравнения являются: \[ x_1 = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x_1 = \pi k, \quad x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №22112: Для решения уравнения \(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \operatorname{ctg} \frac{x}{2} - \cos x + 1 = 0\) на промежутке \(0^\circ < x < 90^\circ\), выполним следующие шаги: 1. **Выразим котангенс через тангенс:** \[ \operatorname{ctg} \frac{x}{2} = \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{x}{2}} \] Следовательно, уравнение становится: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{x}{2}} - \cos x + 1 = 0 \] 2. **Используем формулу для косинуса через тангенс полуугла:** \[ \cos x = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} \] Подставим это в уравнение: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{x}{2}} - \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} + 1 = 0 \] 3. **Обозначим \(\operatorname{tg} \frac{x}{2} = t\):** \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{t} - \frac{1 - t^2}{1 + t^2} + 1 = 0 \] 4. **Умножим все члены уравнения на \(2t(1 + t^2)\) для устранения знаменателей:** \[ \sqrt{3} (1 + t^2) - 2t(1 - t^2) + 2t(1 + t^2) = 0 \] Упростим: \[ \sqrt{3} + \sqrt{3} t^2 - 2t + 2t^3 + 2t = 0 \] Сгруппируем подобные члены: \[ 2t^3 + \sqrt{3} t^2 + 2t + \sqrt{3} = 0 \] 5. **Разделим все члены на \(\sqrt{3}\):** \[ \frac{2}{\sqrt{3}} t^3 + t^2 + \frac{2}{\sqrt{3}} t + 1 = 0 \] Умножим все члены на \(\sqrt{3}\): \[ 2t^3 + \sqrt{3} t^2 + 2t + \sqrt{3} = 0 \] 6. **Решим кубическое уравнение:** \[ t^3 + \frac{\sqrt{3}}{2} t^2 + t + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \] Попробуем найти корни уравнения методом подстановки. Один из корней: \[ t = -\frac{\sqrt{3}}{3} \] 7. **Вернемся к переменной \(x\):** \[ \operatorname{tg} \frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \] Найдем \(\frac{x}{2}\): \[ \frac{x}{2} = \operatorname{arctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -30^\circ \] Следовательно: \[ x = -60^\circ \] Однако, это не входит в заданный интервал \(0^\circ < x < 90^\circ\). 8. **Проверим другие возможные значения:** \[ \operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Найдем \(\frac{x}{2}\): \[ \frac{x}{2} = \operatorname{arctg} \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 30^\circ \] Следовательно: \[ x = 60^\circ \] Таким образом, решение уравнения на промежутке \(0^\circ < x < 90^\circ\) есть \(x = 60^\circ\). Ответ: \(60^\circ\)

Ответ: NaN

Решение №22113: Конечно, давайте решим уравнение \( \cos x (\sin x + \cos x) = 1 \) пошагово:

1. Запишем исходное уравнение: \[ \cos x (\sin x + \cos x) = 1 \]
2. Раскроем скобки: \[ \cos x \sin x + \cos^2 x = 1 \]
3. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \): \[ \cos x \sin x + \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x \]
4. Перенесём \( \cos^2 x \) в правую часть уравнения: \[ \cos x \sin x = \sin^2 x \]
5. Вынесем общий множитель \( \sin x \): \[ \cos x \sin x - \sin^2 x = 0 \]
6. Заметим, что \( \sin x \) можно вынести за скобки: \[ \sin x (\cos x - \sin x) = 0 \]
7. Рассмотрим два случая:
   • \( \sin x = 0 \): \[ x_1 = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
   • \( \cos x = \sin x \): \[ \tan x = 1 \] \[ x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x_1 = \pi k, \quad x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN

Решение №22114: Конечно, давайте решим уравнение \(( \cos x + \sin x )^2 + 1 = 2 \sin^2 x \cdot \cot^2 x\) пошагово. ```html

1. Распишем левую часть уравнения: \[ (\cos x + \sin x)^2 + 1 = \cos^2 x + 2 \cos x \sin x + \sin^2 x + 1 \]
2. Используем основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\): \[ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \] Тогда: \[ (\cos x + \sin x)^2 + 1 = 1 + 2 \cos x \sin x + 1 = 2 + 2 \cos x \sin x \]
3. Теперь распишем правую часть уравнения: \[ 2 \sin^2 x \cdot \cot^2 x = 2 \sin^2 x \cdot \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2 = 2 \sin^2 x \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = 2 \cos^2 x \]
4. Приравняем левую и правую части уравнения: \[ 2 + 2 \cos x \sin x = 2 \cos^2 x \]
5. Разделим обе части уравнения на 2: \[ 1 + \cos x \sin x = \cos^2 x \]
6. Перенесем все члены в одну сторону: \[ \cos^2 x - \cos x \sin x - 1 = 0 \]
7. Это квадратное уравнение относительно \(\cos x\). Перепишем его в стандартной форме: \[ \cos^2 x - \cos x \sin x - 1 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение: \[ \cos x = \frac{\sin x \pm \sqrt{\sin^2 x + 4}}{2} \]
9. Рассмотрим два случая:
   1. Если \(\cos x = \frac{\sin x + \sqrt{\sin^2 x + 4}}{2}\): Решения могут быть найдены графически или численными методами.
   2. Если \(\cos x = \frac{\sin x - \sqrt{\sin^2 x + 4}}{2}\): Решения могут быть найдены графически или численными методами.

Ответ: NaN

Решение №22115: Для решения уравнения \( \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos 2x + \cos x + 1 \) выполним следующие шаги: 1. **Преобразуем левую часть уравнения:** \[ \sin x + \sin 2x + \sin 3x \] Используем формулу для суммы синусов: \[ \sin 3x = \sin (2x + x) = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x \] Тогда: \[ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \sin x + \sin 2x + (\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x) \] Группируем члены: \[ \sin x + \sin 2x + \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x = \sin x (1 + \cos 2x) + \sin 2x (1 + \cos x) \] 2. **Преобразуем правую часть уравнения:** \[ \cos 2x + \cos x + 1 \] Используем формулу для суммы косинусов: \[ \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \] Тогда: \[ \cos 2x + \cos x + 1 = (2 \cos^2 x - 1) + \cos x + 1 = 2 \cos^2 x + \cos x \] 3. **Приравниваем левую и правую части уравнения:** \[ \sin x (1 + \cos 2x) + \sin 2x (1 + \cos x) = 2 \cos^2 x + \cos x \] 4. **Проверяем возможные решения:** - **Случай 1:** \( \sin x = 0 \) Если \( \sin x = 0 \), то \( x = k\pi \), где \( k \) — целое число. Подставим \( x = k\pi \) в уравнение: \[ \cos 2x = \cos (2k\pi) = 1, \quad \cos x = \cos (k\pi) = (-1)^k \] Правая часть уравнения становится: \[ 2 \cos^2 (k\pi) + \cos (k\pi) = 2 \cdot 1 + (-1)^k = 2 + (-1)^k \] Для четных \( k \): \[ 2 + 1 = 3 \neq 1 \] Для нечетных \( k \): \[ 2 - 1 = 1 \] Таким образом, \( x = k\pi \) для нечетных \( k \). - **Случай 2:** \( \sin x \neq 0 \) Тогда: \[ \sin x (1 + \cos 2x) + \sin 2x (1 + \cos x) = 2 \cos^2 x + \cos x \] Подставим \( \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \): \[ \sin x (1 + 2 \cos^2 x - 1) + \sin 2x (1 + \cos x) = 2 \cos^2 x + \cos x \] Упростим: \[ \sin x (2 \cos^2 x) + \sin 2x (1 + \cos x) = 2 \cos^2 x + \cos x \] Поскольку \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \): \[ 2 \sin x \cos^2 x + 2 \sin x \cos x (1 + \cos x) = 2 \cos^2 x + \cos x \] Упростим: \[ 2 \sin x \cos^2 x + 2 \sin x \cos x + 2 \sin x \cos^2 x = 2 \cos^2 x + \cos x \] \[ 4 \sin x \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 2 \cos^2 x + \cos x \] Поскольку \( \sin x \neq 0 \), разделим на \( \sin x \): \[ 4 \cos^2 x + 2 \cos x = 2 \cos^2 x + \cos x \] \[ 2 \cos^2 x + \cos x = 0 \] \[ \cos x (2 \cos x + 1) = 0 \] Таким образом, \( \cos x = 0 \) или \( 2 \cos x + 1 = 0 \). - Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), где \( k \) — целое число. - Если \( 2 \cos x + 1 = 0 \), то \( \cos x = -\frac{1}{2} \), и \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \), где \( k \) — целое число. **Ответ:** \[ x = k\pi \quad \text{для нечетных} \quad k, \quad x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \]

Ответ: NaN

Решение №22116: Конечно, давайте решим уравнение \(5\sin x + 6\sin 2x + 5\sin 3x + \sin 4x = 0\) пошагово.

1. Используем формулы для синуса кратных углов:
   • \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\)
   • \(\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x\)
   • \(\sin 4x = 4\sin x \cos x (2\cos^2 x - 1)\)
2. Подставляем эти формулы в уравнение: \[ 5\sin x + 6(2\sin x \cos x) + 5(3\sin x - 4\sin^3 x) + 4\sin x \cos x (2\cos^2 x - 1) = 0 \]
3. Упрощаем выражение: \[ 5\sin x + 12\sin x \cos x + 15\sin x - 20\sin^3 x + 4\sin x \cos x (2\cos^2 x - 1) = 0 \]
4. Объединяем подобные члены: \[ 20\sin x + 12\sin x \cos x - 20\sin^3 x + 8\sin x \cos x \cos^2 x - 4\sin x \cos x = 0 \]
5. Группируем члены, содержащие \(\sin x\): \[ \sin x (20 + 12\cos x - 20\sin^2 x + 8\cos^3 x - 4\cos x) = 0 \]
6. Факторизуем выражение: \[ \sin x (20 + 8\cos^3 x - 20\sin^2 x + 8\cos x - 4\cos x) = 0 \]
7. Рассматриваем два случая:
   • \(\sin x = 0\)
   • \(20 + 8\cos^3 x - 20\sin^2 x + 8\cos x - 4\cos x = 0\)
8. Решаем \(\sin x = 0\): \[ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]
9. Решаем \(20 + 8\cos^3 x - 20\sin^2 x + 8\cos x - 4\cos x = 0\): \[ 20 + 8\cos^3 x - 20(1 - \cos^2 x) + 4\cos x = 0 \] \[ 20 + 8\cos^3 x - 20 + 20\cos^2 x + 4\cos x = 0 \] \[ 8\cos^3 x + 20\cos^2 x + 4\cos x = 0 \] \[ 4\cos x (2\cos^2 x + 5\cos x + 1) = 0 \]
10. Решаем \(\cos x = 0\): \[ x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]
11. Решаем \(2\cos^2 x + 5\cos x + 1 = 0\): \[ \Delta = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17 \] \[ \cos x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{4} \] Эти значения не принадлежат области значений косинуса \([-1, 1]\), поэтому решений нет.

Ответ: \(x = n\pi\) и \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\), где \(n \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №22117: Решим уравнение \(11 + \sin 2x = 22 \cos x + \sin x\) пошагово.

1. Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\). Подставляем её в уравнение: \[11 + 2 \sin x \cos x = 22 \cos x + \sin x\]
2. Переносим все члены уравнения в одну сторону: \[2 \sin x \cos x - \sin x - 22 \cos x + 11 = 0\]
3. Выносим общий множитель \(\sin x\) и \(\cos x\): \[\sin x (2 \cos x - 1) - 22 \cos x + 11 = 0\]
4. Перегруппируем члены: \[\sin x (2 \cos x - 1) - 22 \cos x + 11 = 0\]
5. Рассмотрим два случая:
   1. Если \(\cos x = \frac{1}{2}\), то: \[2 \sin x \left(\frac{1}{2} - 1\right) - 22 \left(\frac{1}{2}\right) + 11 = 0\] \[2 \sin x \left(-\frac{1}{2}\right) - 11 + 11 = 0\] \[-\sin x = 0\] \[\sin x = 0\] Тогда \(\cos x = \frac{1}{2}\) и \(\sin x = 0\), что невозможно.
   2. Если \(\cos x \neq \frac{1}{2}\), то: \[\sin x = \frac{22 \cos x - 11}{2 \cos x - 1}\]
6. Подставляем \(\sin x = \frac{22 \cos x - 11}{2 \cos x - 1}\) в исходное уравнение и решаем его: \[11 + 2 \left(\frac{22 \cos x - 11}{2 \cos x - 1}\right) \cos x = 22 \cos x + \frac{22 \cos x - 11}{2 \cos x - 1}\] \[11 + \frac{44 \cos^2 x - 22 \cos x}{2 \cos x - 1} = 22 \cos x + \frac{22 \cos x - 11}{2 \cos x - 1}\] \[11 (2 \cos x - 1) + 44 \cos^2 x - 22 \cos x = (22 \cos x + 22 \cos x - 11)(2 \cos x - 1)\] \[11 (2 \cos x - 1) + 44 \cos^2 x - 22 \cos x = (44 \cos^2 x - 22 \cos x + 22 \cos x - 11)\] \[11 (2 \cos x - 1) = 11\] \[2 \cos x - 1 = 1\] \[\cos x = 1\] Тогда \(\sin x = 0\).
7. Решение \(\cos x = 1\) и \(\sin x = 0\) соответствует \(x = 2k\pi\), где \(k\) — целое число.

Ответ: \(x = 2k\pi\), где \(k\) — целое число.

Ответ: NaN

Решение №22118: Для решения уравнения \( \sin(2x) + 2\sin(x) = 1 + \cos(x) \) на отрезке \([-4; -3]\), выполним следующие шаги: 1. **Преобразуем уравнение:** \[ \sin(2x) + 2\sin(x) = 1 + \cos(x) \] Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \] Подставим эту формулу в уравнение: \[ 2\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) = 1 + \cos(x) \] 2. **Вынесем общий множитель \(2\sin(x)\):** \[ 2\sin(x)(\cos(x) + 1) = 1 + \cos(x) \] 3. **Рассмотрим два случая:** - Случай 1: \( \sin(x) = 0 \) - Случай 2: \( \cos(x) + 1 \neq 0 \) 4. **Случай 1: \( \sin(x) = 0 \):** \[ \sin(x) = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] На отрезке \([-4; -3]\) это уравнение принимает значения: \[ x = -4\pi, -3\pi \] На отрезке \([-4; -3]\) нет целых чисел, кратных \(\pi\), поэтому корней нет. 5. **Случай 2: \( \cos(x) + 1 \neq 0 \):** \[ 2\sin(x)(\cos(x) + 1) = 1 + \cos(x) \] Поделим обе части уравнения на \( \cos(x) + 1 \): \[ 2\sin(x) = 1 \] \[ \sin(x) = \frac{1}{2} \] Решения для \( \sin(x) = \frac{1}{2} \): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] На отрезке \([-4; -3]\) эти решения не подходят, так как они не находятся в данном диапазоне. 6. **Заключение:** На отрезке \([-4; -3]\) нет решений уравнения \( \sin(2x) + 2\sin(x) = 1 + \cos(x) \).

Ответ: На отрезке \([-4; -3]\) нет корней.

Ответ: NaN

Решение №22119: Решим уравнение \( \cos\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2} - \sin x \sin 3x - \sin 2x \sin 3x = 0 \) на промежутке \([0; \pi]\) пошагово. ```html

1. Используем тригонометрические тождества для преобразования уравнения: \[ \cos\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2} = \frac{1}{2} \left( \cos 2x + \cos x \right) \] \[ \sin x \sin 3x = \frac{1}{2} \left( \cos 2x - \cos 4x \right) \] \[ \sin 2x \sin 3x = \frac{1}{2} \left( \cos x - \cos 5x \right) \]
2. Подставляем эти тождества в исходное уравнение: \[ \frac{1}{2} \left( \cos 2x + \cos x \right) - \frac{1}{2} \left( \cos 2x - \cos 4x \right) - \frac{1}{2} \left( \cos x - \cos 5x \right) = 0 \]
3. Упрощаем выражение: \[ \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \cos x - \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \cos 4x - \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} \cos 5x = 0 \] \[ \frac{1}{2} \cos 4x + \frac{1}{2} \cos 5x = 0 \] \[ \cos 4x + \cos 5x = 0 \]
4. Используем формулу суммы косинусов: \[ \cos 4x + \cos 5x = 2 \cos \left( \frac{4x + 5x}{2} \right) \cos \left( \frac{4x - 5x}{2} \right) \] \[ = 2 \cos \left( \frac{9x}{2} \right) \cos \left( \frac{-x}{2} \right) \] \[ = 2 \cos \left( \frac{9x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0 \]
5. Раскладываем на множители: \[ \cos \left( \frac{9x}{2} \right) = 0 \quad \text{или} \quad \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0 \]
6. Решаем первое уравнение \(\cos \left( \frac{9x}{2} \right) = 0\): \[ \frac{9x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{9} \] На промежутке \([0; \pi]\) решения: \[ x = \frac{\pi}{9}, \frac{3\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9} \]
7. Решаем второе уравнение \(\cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0\): \[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pi + 2k\pi \] На промежутке \([0; \pi]\) решение: \[ x = \pi \]
8. Объединяем все решения: \[ x = \frac{\pi}{9}, \frac{3\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \pi \]

Ответ: 5 корней на промежутке \([0; \pi]\)

Ответ: NaN

Решение №22120: Конечно, давайте решим уравнение \( \cos[\pi (x-8.5)] = 2 \sin\left[ \frac{\pi}{2}(x-14) \right] \) пошагово. ```html

1. Перепишем уравнение в более удобной форме: \[ \cos[\pi (x-8.5)] = 2 \sin\left[ \frac{\pi}{2}(x-14) \right] \]
2. Используем свойство синуса и косинуса: \[ \cos[\pi (x-8.5)] = \cos\left[\pi x - \frac{17\pi}{2}\right] \] и \[ 2 \sin\left[ \frac{\pi}{2}(x-14) \right] = 2 \sin\left[ \frac{\pi x}{2} - 7\pi \right] \]
3. Симплифицируем аргументы тригонометрических функций: \[ \cos\left[\pi x - \frac{17\pi}{2}\right] = \cos\left[\pi x - \frac{\pi}{2}\right] \] и \[ 2 \sin\left[ \frac{\pi x}{2} - 7\pi \right] = 2 \sin\left[ \frac{\pi x}{2} \right] \]
4. Теперь уравнение выглядит так: \[ \cos\left[\pi x - \frac{\pi}{2}\right] = 2 \sin\left[ \frac{\pi x}{2} \right] \]
5. Используем тригонометрическое тождество для косинуса: \[ \cos\left[\pi x - \frac{\pi}{2}\right] = \sin\left[\pi x\right] \]
6. Подставляем это в уравнение: \[ \sin\left[\pi x\right] = 2 \sin\left[ \frac{\pi x}{2} \right] \]
7. Рассмотрим два случая:
   1. Случай 1: \(\sin\left[\pi x\right] = 0\)
   2. Случай 2: \(\sin\left[\pi x\right] = 2 \sin\left[ \frac{\pi x}{2} \right]\)
8. Случай 1: \(\sin\left[\pi x\right] = 0\) \[ \pi x = k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = k \]
9. Случай 2: \(\sin\left[\pi x\right] = 2 \sin\left[ \frac{\pi x}{2} \right]\) \[ \sin\left[\pi x\right] = 2 \sin\left[ \frac{\pi x}{2} \right] \] Это уравнение не имеет решений, так как синус не может быть равен удвоенному значению своего полупериода.
10. Таким образом, решение уравнения: \[ x = k \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = k \) где \( k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN