Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \((cosx+sinx)^{2}+1=2sin^{2}x\cdot ctg^{2}x\)
Ответ
NaN
Решение № 22114:
Конечно, давайте решим уравнение \(( \cos x + \sin x )^2 + 1 = 2 \sin^2 x \cdot \cot^2 x\) пошагово.
```html
- Распишем левую часть уравнения:
\[
(\cos x + \sin x)^2 + 1 = \cos^2 x + 2 \cos x \sin x + \sin^2 x + 1
\]
- Используем основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\):
\[
\cos^2 x + \sin^2 x = 1
\]
Тогда:
\[
(\cos x + \sin x)^2 + 1 = 1 + 2 \cos x \sin x + 1 = 2 + 2 \cos x \sin x
\]
- Теперь распишем правую часть уравнения:
\[
2 \sin^2 x \cdot \cot^2 x = 2 \sin^2 x \cdot \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2 = 2 \sin^2 x \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = 2 \cos^2 x
\]
- Приравняем левую и правую части уравнения:
\[
2 + 2 \cos x \sin x = 2 \cos^2 x
\]
- Разделим обе части уравнения на 2:
\[
1 + \cos x \sin x = \cos^2 x
\]
- Перенесем все члены в одну сторону:
\[
\cos^2 x - \cos x \sin x - 1 = 0
\]
- Это квадратное уравнение относительно \(\cos x\). Перепишем его в стандартной форме:
\[
\cos^2 x - \cos x \sin x - 1 = 0
\]
- Решим квадратное уравнение:
\[
\cos x = \frac{\sin x \pm \sqrt{\sin^2 x + 4}}{2}
\]
- Рассмотрим два случая:
- Если \(\cos x = \frac{\sin x + \sqrt{\sin^2 x + 4}}{2}\):
Решения могут быть найдены графически или численными методами.
- Если \(\cos x = \frac{\sin x - \sqrt{\sin^2 x + 4}}{2}\):
Решения могут быть найдены графически или численными методами.
```
Таким образом, решение уравнения \(( \cos x + \sin x )^2 + 1 = 2 \sin^2 x \cdot \cot^2 x\) сводится к решению квадратного уравнения относительно \(\cos x\), которое может быть решено графически или численными методами.