Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(2sin2x+2sinx-3=6cosx\)
Ответ
NaN
Решение № 22101:
Для решения уравнения \(2\sin(2x) + 2\sin(x) - 3 = 6\cos(x)\) выполним следующие шаги:
- Используем формулу двойного угла для синуса:
$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Тогда уравнение преобразуется в:
\[
2(2\sin(x)\cos(x)) + 2\sin(x) - 3 = 6\cos(x)
\]
\[
4\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) - 3 = 6\cos(x)
\]
- Переносим все члены с $\cos(x)$ в одну сторону уравнения:
\[
4\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) - 6\cos(x) - 3 = 0
\]
- Выделяем $\cos(x)$:
\[
4\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) - 6\cos(x) - 3 = 0
\]
\[
\cos(x)(4\sin(x) - 6) + 2\sin(x) - 3 = 0
\]
- Рассматриваем два случая: $\cos(x) = 0$ и $4\sin(x) - 6 \neq 0$.
- Случай 1: $\cos(x) = 0$. Тогда:
\[
\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
- Случай 2: $4\sin(x) - 6 \neq 0$. Тогда:
\[
4\sin(x) - 6 \neq 0 \implies \sin(x) \neq \frac{3}{2}
\]
Это условие всегда выполняется, так как $\sin(x)$ не может быть больше 1.
- Подставляем $\cos(x)$ и $\sin(x)$ в уравнение и решаем его:
\[
4\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) - 6\cos(x) - 3 = 0
\]
\[
\cos(x)(4\sin(x) - 6) + 2\sin(x) - 3 = 0
\]
\[
\cos(x)(4\sin(x) - 6) = -2\sin(x) + 3
\]
- Решаем уравнение для $\sin(x)$ и $\cos(x)$:
\[
4\sin(x)\cos(x) - 6\cos(x) = -2\sin(x) + 3
\]
\[
4\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) = 6\cos(x) + 3
\]
\[
2\sin(x)(2\cos(x) + 1) = 6\cos(x) + 3
\]
\[
2\sin(x) = \frac{6\cos(x) + 3}{2\cos(x) + 1}
\]
- Решаем квадратное уравнение для $\sin(x)$:
\[
2\sin(x) = \frac{6\cos(x) + 3}{2\cos(x) + 1}
\]
\[
2\sin(x)(2\cos(x) + 1) = 6\cos(x) + 3
\]
\[
4\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) = 6\cos(x) + 3
\]
\[
4\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) - 6\cos(x) - 3 = 0
\]
- Решаем уравнение для $\sin(x)$ и $\cos(x)$:
\[
4\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) - 6\cos(x) - 3 = 0
\]
\[
2\sin(x)(2\cos(x) + 1) = 6\cos(x) + 3
\]
\[
2\sin(x) = \frac{6\cos(x) + 3}{2\cos(x) + 1}
\]
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$