Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin2x+2sinx=1+cosx.\) Число корней на \([-4; -3]\)

Ответ

NaN

Решение № 22118:

Для решения уравнения \( \sin(2x) + 2\sin(x) = 1 + \cos(x) \) на отрезке \([-4; -3]\), выполним следующие шаги: 1. **Преобразуем уравнение:** \[ \sin(2x) + 2\sin(x) = 1 + \cos(x) \] Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \] Подставим эту формулу в уравнение: \[ 2\sin(x)\cos(x) + 2\sin(x) = 1 + \cos(x) \] 2. **Вынесем общий множитель \(2\sin(x)\):** \[ 2\sin(x)(\cos(x) + 1) = 1 + \cos(x) \] 3. **Рассмотрим два случая:** - Случай 1: \( \sin(x) = 0 \) - Случай 2: \( \cos(x) + 1 \neq 0 \) 4. **Случай 1: \( \sin(x) = 0 \):** \[ \sin(x) = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] На отрезке \([-4; -3]\) это уравнение принимает значения: \[ x = -4\pi, -3\pi \] На отрезке \([-4; -3]\) нет целых чисел, кратных \(\pi\), поэтому корней нет. 5. **Случай 2: \( \cos(x) + 1 \neq 0 \):** \[ 2\sin(x)(\cos(x) + 1) = 1 + \cos(x) \] Поделим обе части уравнения на \( \cos(x) + 1 \): \[ 2\sin(x) = 1 \] \[ \sin(x) = \frac{1}{2} \] Решения для \( \sin(x) = \frac{1}{2} \): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] На отрезке \([-4; -3]\) эти решения не подходят, так как они не находятся в данном диапазоне. 6. **Заключение:** На отрезке \([-4; -3]\) нет решений уравнения \( \sin(2x) + 2\sin(x) = 1 + \cos(x) \).

Ответ: На отрезке \([-4; -3]\) нет корней.