Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin^{3}x-sin^{2}x=sin^{2}x\cdot cos^{2}x\)

Ответ

NaN

Решение № 22097:

### Решение уравнения \( \sin^3 x - \sin^2 x = \sin^2 x \cdot \cos^2 x \)

1. Перепишем уравнение в более удобной форме: \[ \sin^3 x - \sin^2 x = \sin^2 x \cdot \cos^2 x \]
2. Вынесем общий множитель \(\sin^2 x\): \[ \sin^2 x (\sin x - 1) = \sin^2 x \cdot \cos^2 x \]
3. Разделим обе части уравнения на \(\sin^2 x\) (при \(\sin x \neq 0\)): \[ \sin x - 1 = \cos^2 x \]
4. Используем основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\): \[ \sin x - 1 = 1 - \sin^2 x \]
5. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ \sin^2 x + \sin x - 2 = 0 \]
6. Решим полученное квадратное уравнение относительно \(\sin x\): \[ \sin x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]
7. Найдем корни уравнения: \[ \sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = -2 \]
8. Отбросим \(\sin x = -2\), так как \(\sin x\) не может быть меньше -1: \[ \sin x = 1 \]
9. Найдем значения \(x\), при которых \(\sin x = 1\): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
10. Не забудем про случай, когда \(\sin x = 0\) (который был отброшен ранее): \[ \sin x = 0 \implies x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \) и \( x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)