Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(2cosx-3=6sinx-2sin2x\)

Ответ

NaN

Решение № 22102:

Для решения уравнения \(2\cos x - 3 = 6\sin x - 2\sin 2x\), выполним следующие шаги:

1. Перепишем уравнение в стандартном виде: \[ 2\cos x - 3 = 6\sin x - 2\sin 2x \]
2. Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin 2x = 2\sin x \cos x \] Подставим это в уравнение: \[ 2\cos x - 3 = 6\sin x - 2(2\sin x \cos x) \] \[ 2\cos x - 3 = 6\sin x - 4\sin x \cos x \]
3. Перенесём все члены в левую часть уравнения: \[ 2\cos x - 3 - 6\sin x + 4\sin x \cos x = 0 \]
4. Упростим уравнение: \[ 2\cos x + 4\sin x \cos x - 6\sin x - 3 = 0 \] \[ 2\cos x (1 + 2\sin x) - 6\sin x - 3 = 0 \]
5. Рассмотрим два случая:
   1. Пусть \(\cos x = 0\): \[ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] Подставим \(\cos x = 0\) в уравнение: \[ -3 - 6\sin x = 0 \] \[ \sin x = -\frac{1}{2} \] Решения: \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
   2. Пусть \(\cos x \neq 0\): Разделим уравнение на \(\cos x\): \[ 2(1 + 2\sin x) - 6\tan x - 3 = 0 \] \[ 2 + 4\sin x - 6\tan x - 3 = 0 \] \[ 4\sin x - 6\tan x - 1 = 0 \] Подставим \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\): \[ 4\sin x - 6\frac{\sin x}{\cos x} - 1 = 0 \] \[ 4\sin x \cos x - 6\sin x - \cos x = 0 \] Разделим на \(\cos x\): \[ 4\sin x - 6\tan x - 1 = 0 \] \[ 4\sin x - 6\frac{\sin x}{\cos x} - 1 = 0 \] \[ 4\sin x \cos x - 6\sin x - \cos x = 0 \] \[ \sin x (4\cos x - 6) - \cos x = 0 \] Решим уравнение: \[ \sin x = \frac{1}{2} \] Решения: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
6. Объединим решения: \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\)