Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos\frac{1}{x}\cdot sin2x=4sinxcosx\)

Ответ

NaN

Решение № 22103:

Для решения уравнения \( \cos \frac{1}{x} \cdot \sin 2x = 4 \sin x \cos x \), выполним следующие шаги: 1. **Используем формулу двойного угла для синуса:** \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] 2. **Подставляем эту формулу в уравнение:** \[ \cos \frac{1}{x} \cdot \sin 2x = 4 \sin x \cos x \] Заменяем \(\sin 2x\): \[ \cos \frac{1}{x} \cdot 2 \sin x \cos x = 4 \sin x \cos x \] 3. **Упрощаем уравнение:** \[ \cos \frac{1}{x} \cdot 2 \sin x \cos x - 4 \sin x \cos x = 0 \] Выносим общий множитель \(2 \sin x \cos x\): \[ 2 \sin x \cos x \left( \cos \frac{1}{x} - 2 \right) = 0 \] 4. **Рассматриваем два случая:** - **Первый случай:** \[ 2 \sin x \cos x = 0 \] Это уравнение выполняется, если \(\sin x = 0\) или \(\cos x = 0\). - **Если \(\sin x = 0\):** \[ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] - **Если \(\cos x = 0\):** \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] - **Второй случай:** \[ \cos \frac{1}{x} - 2 = 0 \] Это уравнение не имеет решений, так как максимальное значение косинуса равно 1, и оно не может быть равно 2. 5. **Заключение:** Решениями уравнения являются: \[ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] и \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pi k \) и \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( k \) и \( n \) — целые числа.