Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin2x=sinx(sinx+cosx)\)

Ответ

NaN

Решение № 22111:

1. Начнем с исходного уравнения: \[ \sin 2x = \sin x (\sin x + \cos x) \]
2. Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \]
3. Подставляем эту формулу в исходное уравнение: \[ 2 \sin x \cos x = \sin x (\sin x + \cos x) \]
4. Раскрываем скобки: \[ 2 \sin x \cos x = \sin^2 x + \sin x \cos x \]
5. Выносим \(\sin x \cos x\) за скобки: \[ 2 \sin x \cos x - \sin x \cos x = \sin^2 x \] \[ \sin x \cos x = \sin^2 x \]
6. Переносим все в одну сторону уравнения: \[ \sin x \cos x - \sin^2 x = 0 \]
7. Выносим \(\sin x\) за скобки: \[ \sin x (\cos x - \sin x) = 0 \]
8. Рассматриваем два случая:
   • \(\sin x = 0\)
   • \(\cos x - \sin x = 0\)
9. Решаем первый случай \(\sin x = 0\): \[ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
10. Решаем второй случай \(\cos x = \sin x\): \[ \cos x = \sin x \] \[ \cos x = \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) \]
11. Используем формулу для косинуса разности: \[ \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x \] \[ \cos x = \sin x \]
12. Решаем уравнение \(\cos x = \sin x\): \[ \cos x = \sin x \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
13. Итак, решениями уравнения являются: \[ x_1 = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x_1 = \pi k, \quad x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}\)