Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(2sinxsin6x+cos2x=1\)

Ответ

NaN

Решение № 22094:

1. Преобразуем исходное уравнение: \[ 2 \sin x \sin 6x + \cos 2x = 1 \] Используем формулу произведения синусов: \[ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos (A - B) - \cos (A + B)] \] Подставляем \(A = x\) и \(B = 6x\): \[ 2 \sin x \sin 6x = 2 \cdot \frac{1}{2} [\cos (x - 6x) - \cos (x + 6x)] = \cos (-5x) - \cos 7x = \cos 5x - \cos 7x \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \cos 5x - \cos 7x + \cos 2x = 1 \]
2. Используем формулу суммы косинусов: \[ \cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A + B}{2}\right) \cos \left(\frac{A - B}{2}\right) \] Подставляем \(A = 5x\) и \(B = 2x\): \[ \cos 5x + \cos 2x = 2 \cos \left(\frac{5x + 2x}{2}\right) \cos \left(\frac{5x - 2x}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{7x}{2}\right) \cos \left(\frac{3x}{2}\right) \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ 2 \cos \left(\frac{7x}{2}\right) \cos \left(\frac{3x}{2}\right) - \cos 7x = 1 \]
3. Используем формулу произведения косинусов: \[ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A + B) + \cos (A - B)] \] Подставляем \(A = \frac{7x}{2}\) и \(B = \frac{3x}{2}\): \[ 2 \cos \left(\frac{7x}{2}\right) \cos \left(\frac{3x}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} [\cos (5x) + \cos (2x)] = \cos 5x + \cos 2x \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \cos 5x + \cos 2x - \cos 7x = 1 \]
4. Рассмотрим два случая:
   • Случай 1: \[ \cos 5x + \cos 2x = 1 + \cos 7x \] Это возможно, если: \[ \cos 5x = 1 \quad \text{и} \quad \cos 2x = \cos 7x \] Решим \(\cos 5x = 1\): \[ 5x = 2\pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} \]
   • Случай 2: \[ \cos 5x + \cos 2x = -1 - \cos 7x \] Это возможно, если: \[ \cos 5x = -1 \quad \text{и} \quad \cos 2x = -\cos 7x \] Решим \(\cos 5x = -1\): \[ 5x = \pi + 2\pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi + 2\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} \]
5. Итоговые решения: \[ x = \frac{2\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} \] и \[ x = \frac{\pi + 2\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \frac{2\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}\) и \(x = \frac{\pi + 2\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}\)