Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin2x=\frac{cosx}{1-sinx}\)

Ответ

NaN

Решение № 22106:

Для решения уравнения \( \sin 2x = \frac{\cos x}{1 - \sin x} \), выполним следующие шаги:

1. Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ 2 \sin x \cos x = \frac{\cos x}{1 - \sin x} \]
2. Умножим обе части уравнения на \( 1 - \sin x \): \[ 2 \sin x \cos x (1 - \sin x) = \cos x \]
3. Раскроем скобки: \[ 2 \sin x \cos x - 2 \sin^2 x \cos x = \cos x \]
4. Вынесем \( \cos x \) за скобки: \[ \cos x (2 \sin x - 2 \sin^2 x - 1) = 0 \]
5. Рассмотрим два случая:
   • Первый случай: \( \cos x = 0 \)
   • Второй случай: \( 2 \sin x - 2 \sin^2 x - 1 = 0 \)
6. Решим первый случай: \[ \cos x = 0 \] Это происходит при: \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Решим второй случай: \[ 2 \sin x - 2 \sin^2 x - 1 = 0 \] Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ 2 \sin^2 x - 2 \sin x + 1 = 0 \] Введем замену \( y = \sin x \): \[ 2 y^2 - 2 y + 1 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение: \[ 2 y^2 - 2 y + 1 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4 \] Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет реальных решений.
9. Таким образом, единственное решение уравнения: \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)