Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sinx+sin2x+sin3x=cos2x+cosx+1\)

Ответ

NaN

Решение № 22115:

Для решения уравнения \( \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos 2x + \cos x + 1 \) выполним следующие шаги: 1. **Преобразуем левую часть уравнения:** \[ \sin x + \sin 2x + \sin 3x \] Используем формулу для суммы синусов: \[ \sin 3x = \sin (2x + x) = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x \] Тогда: \[ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \sin x + \sin 2x + (\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x) \] Группируем члены: \[ \sin x + \sin 2x + \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x = \sin x (1 + \cos 2x) + \sin 2x (1 + \cos x) \] 2. **Преобразуем правую часть уравнения:** \[ \cos 2x + \cos x + 1 \] Используем формулу для суммы косинусов: \[ \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \] Тогда: \[ \cos 2x + \cos x + 1 = (2 \cos^2 x - 1) + \cos x + 1 = 2 \cos^2 x + \cos x \] 3. **Приравниваем левую и правую части уравнения:** \[ \sin x (1 + \cos 2x) + \sin 2x (1 + \cos x) = 2 \cos^2 x + \cos x \] 4. **Проверяем возможные решения:** - **Случай 1:** \( \sin x = 0 \) Если \( \sin x = 0 \), то \( x = k\pi \), где \( k \) — целое число. Подставим \( x = k\pi \) в уравнение: \[ \cos 2x = \cos (2k\pi) = 1, \quad \cos x = \cos (k\pi) = (-1)^k \] Правая часть уравнения становится: \[ 2 \cos^2 (k\pi) + \cos (k\pi) = 2 \cdot 1 + (-1)^k = 2 + (-1)^k \] Для четных \( k \): \[ 2 + 1 = 3 \neq 1 \] Для нечетных \( k \): \[ 2 - 1 = 1 \] Таким образом, \( x = k\pi \) для нечетных \( k \). - **Случай 2:** \( \sin x \neq 0 \) Тогда: \[ \sin x (1 + \cos 2x) + \sin 2x (1 + \cos x) = 2 \cos^2 x + \cos x \] Подставим \( \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \): \[ \sin x (1 + 2 \cos^2 x - 1) + \sin 2x (1 + \cos x) = 2 \cos^2 x + \cos x \] Упростим: \[ \sin x (2 \cos^2 x) + \sin 2x (1 + \cos x) = 2 \cos^2 x + \cos x \] Поскольку \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \): \[ 2 \sin x \cos^2 x + 2 \sin x \cos x (1 + \cos x) = 2 \cos^2 x + \cos x \] Упростим: \[ 2 \sin x \cos^2 x + 2 \sin x \cos x + 2 \sin x \cos^2 x = 2 \cos^2 x + \cos x \] \[ 4 \sin x \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 2 \cos^2 x + \cos x \] Поскольку \( \sin x \neq 0 \), разделим на \( \sin x \): \[ 4 \cos^2 x + 2 \cos x = 2 \cos^2 x + \cos x \] \[ 2 \cos^2 x + \cos x = 0 \] \[ \cos x (2 \cos x + 1) = 0 \] Таким образом, \( \cos x = 0 \) или \( 2 \cos x + 1 = 0 \). - Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), где \( k \) — целое число. - Если \( 2 \cos x + 1 = 0 \), то \( \cos x = -\frac{1}{2} \), и \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \), где \( k \) — целое число. **Ответ:** \[ x = k\pi \quad \text{для нечетных} \quad k, \quad x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \]